Упр.327 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что если секущая плоскость параллельна оси цилиндра и расстояние между этой плоскостью и осью цилиндра меньше его радиуса, то сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, две противоположные стороны которого — образующие цилиндра.

Пусть секущая плоскость пересекает цилиндр по четырёхугольнику $$PQMN$$. Так как секущая плоскость параллельна оси цилиндра, а ось цилиндра перпендикулярна плоскости основания, то секущая плоскость тоже перпендикулярна плоскостям оснований цилиндра.

Тогда прямые $$PQ$$ и $$MN$$, по которым секущая плоскость пересекает боковую поверхность цилиндра, перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, они параллельны образующим цилиндра.

Кроме того, отрезки $$PM$$ и $$QN$$ лежат в плоскостях оснований цилиндра и являются хордами этих оснований. Так как секущая плоскость параллельна оси цилиндра, то её пересечение с основаниями проходит на одинаковом расстоянии от центра, а при условии $$d<R$$ эта прямая пересекает окружности оснований в двух точках.

Итак, в сечении получаем четырёхугольник, у которого две противоположные стороны $$PQ$$ и $$MN$$ являются образующими цилиндра, а боковые стороны $$PM$$ и $$QN$$ лежат в плоскостях оснований и перпендикулярны образующим. Значит, все углы этого четырёхугольника прямые.

Следовательно, $$PQMN$$ — прямоугольник, две противоположные стороны которого являются образующими цилиндра.

Ответ

Сечение цилиндра — прямоугольник, две противоположные стороны которого являются образующими цилиндра.