Упр.326 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Концы отрезка $$AB$$ лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус цилиндра равен $$r$$, его высота — $$h$$, а расстояние между прямой $$AB$$ и осью цилиндра равно $$d$$. Найдите: а) $$h$$, если $$r=10\ \text{дм}$$, $$d=8\ \text{дм}$$, $$AB=13\ \text{дм}$$; б) $$d$$, если $$h=6\ \text{см}$$, $$r=5\ \text{см}$$, $$AB=10\ \text{см}$$.

Обозначим через $$O$$ и $$O_1$$ центры оснований цилиндра, а через $$C$$ и $$H$$ — проекцию прямой $$AB$$ на плоскость основания и середину соответствующей хорды. Тогда $$OH$$ — расстояние от оси цилиндра до прямой $$AB$$, то есть $$OH=d$$.

Треугольник $$COA$$ равнобедренный, поэтому $$OH$$ является его медианой, высотой и биссектрисой. Следовательно, $$CH=\dfrac{AC}{2}$$.

а)

Так как $$OC=r=10$$ дм и $$OH=d=8$$ дм, то по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $$OHC$$:

$$CH=\sqrt{OC^2-OH^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=6\text{ дм}.$$

Тогда

$$AC=2CH=12\text{ дм}.$$

Треугольник $$ABC$$ прямоугольный, причём $$BC$$ — высота цилиндра. По теореме Пифагора:

$$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=5\text{ дм}.$$

б)

Пусть $$h=BC=6$$ см, $$r=5$$ см, $$AB=10$$ см. Тогда в прямоугольном треугольнике $$ABC$$:

$$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=8\text{ см}.$$

Так как $$OH$$ — медиана в равнобедренном треугольнике $$COA$$, то

$$CH=\frac{AC}{2}=4\text{ см}.$$

Теперь по теореме Пифагора в треугольнике $$OHC$$:

$$d=OH=\sqrt{OC^2-CH^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=3\text{ см}.$$

Ответ: а) $$5$$ дм; б) $$3$$ см.