Упр.326 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Концы отрезка AB лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус цилиндра равен r, его высота — h, а расстояние между прямой AB и осью цилиндра равно d. Найдите: а) h, если r = 10 дм, d = 8 дм, AB = 13 дм; б) d, если h = 6 см, r = 5 см, AB = 10 см.

Подробный ответ

Обозначим через $$O$$ центр нижнего основания цилиндра, через $$O_1$$ — центр верхнего основания. Пусть $$C$$ — проекция точки $$B$$ на плоскость нижнего основания. Тогда $$OC=r$$, а расстояние от прямой $$AB$$ до оси цилиндра равно $$OH=d$$.

Треугольник $$COH$$ прямоугольный, причём $$OH \perp AC$$, поэтому удобно сначала найти хорду основания $$AC$$. Так как $$O$$ — центр окружности, то $$OH$$ является медианой к хорде $$AC$$, значит $$CH=\dfrac{AC}{2}$$.

а) $$r=10$$ дм, $$d=8$$ дм, $$AB=13$$ дм.

Из прямоугольного треугольника $$OHC$$:

$$ CH=\sqrt{OC^2-OH^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=6\text{ дм} $$

Тогда

$$ AC=2CH=12\text{ дм} $$

Треугольник $$ABC$$ прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора:

$$ BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=5\text{ дм} $$

Так как $$BC$$ — высота цилиндра, то $$h=BC=5$$ дм.

б) $$h=6$$ см, $$r=5$$ см, $$AB=10$$ см.

Сначала найдём $$AC$$ из прямоугольного треугольника $$ABC$$:

$$ AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=8\text{ см} $$

Тогда