Упр.325 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Площадь основания цилиндра относится к площади осевого сечения как у[Зл : 4. Найдите: а) угол между диагональю осевого сечения цилиндра и плоскостью основания; б) угол между диагоналями осевого сечения.

Подробный ответ

Обозначим площадь основания цилиндра через $$S$$, а площадь осевого сечения — через $$S_{\text{ос}}$$. Осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами $$2R$$ и $$h$$, поэтому

$$S=\pi R^2,\qquad S_{\text{ос}}=2Rh.$$

По условию

$$\frac{S}{S_{\text{ос}}}=\frac{\sqrt{3}\pi}{4}.$$

Тогда

$$ \frac{\pi R^2}{2Rh}=\frac{\sqrt{3}\pi}{4} \quad\Rightarrow\quad \frac{R}{2h}=\frac{\sqrt{3}}{4} \quad\Rightarrow\quad \frac{R}{h}=\frac{\sqrt{3}}{2}. $$

Рассмотрим диагональ осевого сечения. В прямоугольном треугольнике с катетами $$R$$ и $$h$$ для угла между диагональю и плоскостью основания имеем

$$\tan \alpha=\frac{h}{R}=\frac{2}{\sqrt{3}}.$$

Но удобнее найти угол при основании:

$$ \tan \angle ABB_1=\frac{BB_1}{AB}=\frac{h}{2R}=\frac{1}{\sqrt{3}}, $$

значит,

$$\angle ABB_1=30^\circ.$$

Следовательно, угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания равен

$$90^\circ-30^\circ=60^\circ.$$

Теперь найдём угол между диагоналями осевого сечения. Диагонали прямоугольника пересекаются и делятся пополам, поэтому в треугольнике с вершиной в центре прямоугольника углы при основании равны $$30^\circ$$. Тогда искомый угол между диагоналями равен

$$180^\circ-2\cdot 30^\circ=120^\circ.$$