Упр.325 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Площадь основания цилиндра относится к площади осевого сечения как $$у[Зл:4$$. Найдите: а) угол между диагональю осевого сечения цилиндра и плоскостью основания; б) угол между диагоналями осевого сечения.
Обозначим площадь основания цилиндра через $$S$$, а площадь осевого сечения — через $$S_{\text{ос}}$$. Тогда
$$S=\pi R^2,\qquad S_{\text{ос}}=2R\cdot h$$
По условию
$$\frac{S}{S_{\text{ос}}}=\frac{\sqrt{3}\pi}{4}$$
Следовательно,
$$\frac{\pi R^2}{2Rh}=\frac{\sqrt{3}\pi}{4}$$
$$\frac{R}{2h}=\frac{\sqrt{3}}{4}$$
$$\frac{R}{h}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\frac{h}{R}=\frac{2}{\sqrt{3}}$$
Рассмотрим осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами $$2R$$ и $$h$$.
Диагональ этого прямоугольника образует с плоскостью основания угол, равный углу между диагональю и её проекцией на основание. Проекция диагонали на основание равна диаметру $$AB=2R$$, а высота равна $$h$$. Поэтому
$$\tan \angle B_1AB=\frac{h}{AB}=\frac{h}{2R}$$
Из найденного отношения
$$\frac{h}{2R}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$
значит,
$$\angle B_1AB=30^\circ$$
Тогда угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания равен
$$90^\circ-30^\circ=60^\circ$$
Теперь найдём угол между диагоналями осевого сечения. Диагонали прямоугольника пересекаются и делятся пополам, поэтому в треугольнике с вершиной в центре прямоугольника углы при основании равны $$30^\circ$$. Тогда искомый угол равен
$$180^\circ-2\cdot 30^\circ=120^\circ$$
Ответ: а) $$60^\circ$$; б) $$120^\circ$$.
