Упр.321 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна $$48\ \text{см}$$. Угол между этой диагональю и образующей цилиндра равен $$60^\circ$$. Найдите: а) высоту цилиндра; б) радиус цилиндра; в) площадь основания цилиндра.

Рассмотрим осевое сечение цилиндра. Это прямоугольник, у которого одна сторона равна высоте цилиндра $$h$$, а другая — диаметру основания $$2R$$. Диагональ этого прямоугольника равна $$48$$ см, а угол между диагональю и образующей цилиндра равен $$60^\circ$$.

Обозначим диагональ осевого сечения через $$d$$. Тогда $$d=48$$ см, а образующая цилиндра равна его высоте, то есть $$h$$.

В прямоугольном треугольнике, образованном диагональю, высотой и диаметром основания, имеем:

$$\cos 60^\circ=\frac{h}{48}$$
$$\frac{1}{2}=\frac{h}{48}$$
$$h=24\text{ см}$$

Теперь найдём радиус основания. В том же треугольнике:

$$\sin 60^\circ=\frac{2R}{48}$$
$$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2R}{48}$$
$$2R=24\sqrt{3}$$
$$R=12\sqrt{3}\text{ см}$$

Площадь основания цилиндра:

$$S=\pi R^2=\pi\left(12\sqrt{3}\right)^2=\pi\cdot 144\cdot 3=432\pi\text{ см}^2$$

Ответ: а) $$24$$ см; б) $$12\sqrt{3}$$ см; в) $$432\pi$$ см$$^2$$.