Упр.321 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см. Угол между этой диагональю и образующей цилиндра равен 60°. Найдите: а) высоту цилиндра; б) радиус цилиндра; в) площадь основания цилиндра.

Подробный ответ

Осевое сечение цилиндра — прямоугольник, у которого одна сторона равна высоте цилиндра $$h$$, а другая — диаметру основания $$2R$$. Диагональ этого прямоугольника равна $$48$$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной диагонали осевого сечения, и катетами $$h$$ и $$2R$$. Угол между диагональю и образующей цилиндра равен $$60^\circ$$, а образующая равна высоте цилиндра, значит

$$\cos 60^\circ=\frac{h}{48}$$

Отсюда

$$h=48\cdot \frac{1}{2}=24\text{ см}.$$

Теперь найдём радиус. В том же прямоугольном треугольнике

$$\sin 60^\circ=\frac{2R}{48}$$

Следовательно,

$$2R=48\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=24\sqrt{3},$$

значит

$$R=12\sqrt{3}\text{ см}.$$

Площадь основания цилиндра:

$$S=\pi R^2=\pi\left(12\sqrt{3}\right)^2=\pi\cdot 144\cdot 3=432\pi\text{ см}^2.$$