Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.32 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Окружности с центрами $$O_1$$ и $$O_2$$ касаются друг друга извне в точке $$C$$. Прямая касается этих окружностей в точках $$A$$ и $$B$$, отличных от точки $$C$$. Найдите угол $$\angle AO_2B$$, если $$\tg \angle ABC=\frac{1}{2}$$.

Обозначим $$\angle ABC=\alpha.$$ Тогда по условию $$\tg \alpha=\frac12.$$

Так как прямая $$AB$$ касается окружностей в точках $$A$$ и $$B$$, то радиусы $$O_1A$$ и $$O_2B$$ перпендикулярны этой прямой. Кроме того, окружности касаются внешним образом в точке $$C$$, значит точки $$O_1, C, O_2$$ лежат на одной прямой.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Угол между касательной и хордой равен половине соответствующей дуги, поэтому

$$\angle ACO_1=\frac12\bigl(180^\circ-\angle AO_1C\bigr), \qquad \angle BCO_2=\frac12\bigl(180^\circ-\angle BO_2C\bigr).$$

Так как $$\angle AO_1C+\angle BO_2C=180^\circ,$$ то

$$\angle C=180^\circ-\angle ACO_1-\angle BCO_2=90^\circ.$$

Следовательно, треугольник $$ABC$$ прямоугольный, и

$$\tg \alpha=\frac{AC}{BC}=\frac12,$$

откуда $$BC=2AC.$$ Тогда по теореме Пифагора

$$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{AC^2+4AC^2}=AC\sqrt5.$$

Найдём теперь $$BO_2.$$ В равнобедренном треугольнике $$BO_2C$$ имеем

$$\angle BCO_2=\angle CBO_2=90^\circ-\alpha.$$

Из $$\tg \alpha=\frac12$$ получаем

$$\cos \alpha=\frac{2}{\sqrt5}, \qquad \sin \alpha=\frac{1}{\sqrt5}.$$

Тогда

$$\sin 2\alpha=2\sin \alpha \cos \alpha=\frac45.$$

По теореме синусов в треугольнике $$BO_2C$$:

$$\frac{BC}{\sin \angle BO_2C}=\frac{BO_2}{\sin \angle BCO_2}.$$

Подставим:

$$\frac{2AC}{\sin 2\alpha}=\frac{BO_2}{\cos \alpha}.$$

Тогда

$$BO_2=2AC\cdot \frac{\cos \alpha}{\sin 2\alpha} =2AC\cdot \frac{2/\sqrt5}{4/5} =AC\sqrt5.$$

Но $$AB=AC\sqrt5,$$ значит $$AB=BO_2.$$

В треугольнике $$ABO_2$$ радиус $$O_2B$$ перпендикулярен касательной $$AB$$, поэтому $$\angle ABO_2=90^\circ.$$ Так как треугольник $$ABO_2$$ прямоугольный и равнобедренный, то

$$\angle AO_2B=45^\circ.$$

Ответ

$$45^\circ$$