Упр.318 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что сумма двугранного угла правильного тетраэдра и двугранного угла правильного октаэдра равна $$180^\circ$$.

Обозначим двугранный угол правильного тетраэдра через $$\alpha$$, а двугранный угол правильного октаэдра — через $$\beta$$. Докажем, что $$\alpha+\beta=180^\circ$$.

Из известных формул для правильных многогранников:

$$\cos \alpha=-\frac{1}{3},$$
$$\cos \beta=\frac{1}{3}.$$

Тогда

$$\cos \beta=-\cos \alpha.$$

Следовательно, углы $$\alpha$$ и $$\beta$$ являются дополнительными, то есть

$$\alpha+\beta=180^\circ.$$

Что и требовалось доказать.