Упр.317 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что центры граней куба являются вершинами правильного октаэдра.

Рассмотрим куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ и обозначим центры его граней через $$M, Q, K, L, N, P$$.

Покажем, что эти шесть точек являются вершинами правильного октаэдра.

У куба есть плоскости симметрии, проходящие через середины противоположных рёбер и через противоположные вершины. Поэтому точки, являющиеся центрами граней, расположены симметрично относительно центра куба.

Соединим центры четырёх граней, не имеющих общих точек, например $$M, Q, K, L$$. Получим четырёхугольник, лежащий в плоскости симметрии куба. Аналогично остальные центры расположены так, что все шесть точек образуют многогранник с восемью равными треугольными гранями.

Действительно, каждая грань полученного многогранника — равносторонний треугольник. Например, если взять три центра соседних граней куба, то расстояния между ними равны, так как каждый из этих отрезков соединяет середины равных отрезков куба и лежит в плоскости симметрии. Следовательно, все грани — равносторонние треугольники.

Кроме того, в сечении плоскостью, проходящей через четыре центра граней, получается квадрат, а все рёбра многогранника равны. Значит, полученный многогранник — правильный октаэдр.

Итак, центры граней куба являются вершинами правильного октаэдра.