Упр.317 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что центры граней куба являются вершинами правильного октаэдра.

Обозначим центры граней куба через $$M, Q, K, L, N, P$$. Нужно доказать, что эти шесть точек являются вершинами правильного октаэдра.

Рассмотрим куб и проведём плоскость через центры четырёх граней, расположенных попарно противоположно. Такая плоскость является плоскостью симметрии куба. Аналогично, у куба есть ещё две такие плоскости симметрии. В результате центры всех граней оказываются расположены симметрично относительно центра куба.

Соединим центры соседних граней. Получим многогранник с шестью вершинами и восемью гранями. Каждая его грань — треугольник. Например, треугольник, соединяющий центры трёх граней куба, имеет три плоскости симметрии, а значит, он равносторонний.

Следовательно, все грани полученного многогранника — равносторонние треугольники. В поперечном сечении он имеет форму квадрата, а сам многогранник обладает свойствами правильного октаэдра.

Итак, центры граней куба являются вершинами правильного октаэдра.

Ответ

Центры граней куба являются вершинами правильного октаэдра.