Упр.316 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что центры граней правильного тетраэдра являются вершинами другого правильного тетраэдра.
Рассмотрим правильный тетраэдр. У него есть 6 плоскостей симметрии. Если в каждой грани взять её центр, то при симметриях правильного тетраэдра эти точки переходят друг в друга, а значит, образуют вершины некоторого многогранника.
Так как у тетраэдра 4 грани, то полученный многогранник имеет 4 вершины. Каждая его грань соединяет центры трёх граней исходного тетраэдра, то есть является треугольником.
Покажем, что этот треугольник равносторонний. Действительно, в правильном тетраэдре все грани равны, а центры граней расположены симметрично относительно его осей. Поэтому расстояния между центрами любых двух соседних граней одинаковы, а углы между соответствующими отрезками равны.
Следовательно, все грани полученного многогранника — равносторонние треугольники, а сам многогранник имеет 4 равные грани. Значит, это правильный тетраэдр.
