Упр.316 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что центры граней правильного тетраэдра являются вершинами другого правильного тетраэдра.

Рассмотрим правильный тетраэдр. У него каждая грань — равносторонний треугольник, а все грани равны между собой.

Пусть в каждой грани отмечен её центр. Соединим эти четыре точки. Получится новый многогранник с четырьмя вершинами и четырьмя гранями.

Докажем, что его грани — равносторонние треугольники. Действительно, в правильном тетраэдре все грани равны, а центры равных треугольников расположены симметрично относительно их сторон. Поэтому расстояния между центрами соседних граней одинаковы.

Кроме того, у правильного тетраэдра есть плоскости симметрии, проходящие через ребро и середину противоположного ребра. Эти симметрии переводят одну грань в другую и сохраняют расстояния между центрами граней. Значит, все рёбра полученного многогранника равны.

Следовательно, все его грани — равносторонние треугольники, а все рёбра равны. Значит, это правильный тетраэдр.

Ответ

Центры граней правильного тетраэдра являются вершинами другого правильного тетраэдра.