Упр.315 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что центры граней правильного октаэдра являются вершинами куба.

Рассмотрим правильный октаэдр и соединим отрезками центры его граней, имеющих общую вершину.

У правильного октаэдра 8 граней, значит, получится многогранник с 8 вершинами. Каждая грань этого многогранника соответствует одной вершине октаэдра и состоит из центров четырёх граней исходного октаэдра, сходящихся в этой вершине.

Так как октаэдр правильный, то все его грани — равные равносторонние треугольники. Центры граней, прилежащих к одной вершине, расположены симметрично относительно этой вершины, поэтому получающиеся четырёхугольники имеют равные стороны и прямые углы, то есть являются квадратами.

Следовательно, все грани построенного многогранника — квадраты. Значит, это куб.

Ответ

Центры граней правильного октаэдра являются вершинами куба.