Упр.313 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Стороны оснований правильной треугольной усечённой пирамиды равны $$12\ \text{дм}$$ и $$6\ \text{дм}$$, а её высота — $$1\ \text{дм}$$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Пусть $$ABC A_1B_1C_1$$ — усечённая правильная треугольная пирамида. Тогда её боковая поверхность состоит из трёх равных равнобедренных трапеций, значит
$$S_{\text{бок}}=3S_{ABA_1B_1}.$$
Найдём площадь одной трапеции $$ABA_1B_1$$. Её основания равны $$AB=12$$ дм и $$A_1B_1=6$$ дм, а высота равна апофеме усечённой пирамиды.
Обозначим через $$O$$ и $$O_1$$ центры оснований. Тогда
$$R_{ABC}=\frac{12}{\sqrt3}, \qquad R_{A_1B_1C_1}=\frac{6}{\sqrt3}.$$
Из рисунка
$$HB=BO-HO=BO-B_1O_1=\frac{12}{\sqrt3}-\frac{6}{\sqrt3}=2\sqrt3.$$
В прямоугольном треугольнике $$B_1BH$$ по теореме Пифагора получаем
$$B_1B^2=HB^2+HH_1^2,$$
то есть
$$B_1B=\sqrt{1+(2\sqrt3)^2}=\sqrt{13}\ \text{дм}.$$
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$AA_1D$$, где $$D$$ — середина стороны $$AB$$. Тогда
$$AD=\frac{AB-A_1B_1}{2}=\frac{12-6}{2}=3\ \text{дм}.$$
Следовательно, высота трапеции равна
$$A_1D=\sqrt{A_1A^2-AD^2}=\sqrt{13-9}=2\ \text{дм}.$$
Тогда площадь одной боковой грани:
$$S_{ABA_1B_1}=\frac{12+6}{2}\cdot 2=18\ \text{дм}^2.$$
Итак, площадь всей боковой поверхности:
$$S_{\text{бок}}=3\cdot 18=54\ \text{дм}^2.$$
Ответ: $$54\ \text{дм}^2$$.
