Упр.312 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В правильной $$n$$-угольной пирамиде боковые грани составляют с плоскостью основания угол $$\varphi$$. Найдите тангенс угла между плоскостью основания и боковым ребром.

Обозначим через $$O$$ центр правильного $$n$$-угольника основания, а через $$H_1$$ — основание перпендикуляра, опущенного из вершины $$K$$ на сторону основания. Тогда $$OH_1$$ — апофема правильного многоугольника, то есть радиус вписанной окружности основания.

В прямоугольном треугольнике $$KOH_1$$ угол между боковой гранью и плоскостью основания равен $$\varphi$$, поэтому

$$\tg \varphi=\frac{KO}{OH_1}.$$

Угол между плоскостью основания и боковым ребром обозначим через $$\theta$$. В прямоугольном треугольнике, образованном боковым ребром и его проекцией на основание, имеем

$$\tg \theta=\frac{KO}{A_2H_1}.$$

Так как в правильном $$n$$-угольнике

$$A_2H_1=OH_1\cos\frac{180^\circ}{n},$$

то

$$\tg \theta=\frac{KO}{OH_1\cos\frac{180^\circ}{n}} =\frac{KO}{OH_1}\cdot \frac{1}{\cos\frac{180^\circ}{n}}$$

и, используя $$\tg \varphi=\dfrac{KO}{OH_1}$$, получаем

$$\tg \theta=\cos\frac{180^\circ}{n}\cdot \tg \varphi.$$

Ответ: $$\tg \theta=\cos\frac{180^\circ}{n}\cdot \tg \varphi.$$