Упр.311 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Основанием пирамиды DABC является треугольник со сторонами AC = 13 см, AB = 15 см, CB = 14 см. Боковое ребро DA перпендикулярно к плоскости основания и равно 9 см. а) Найдите площадь полной поверхности пирамиды, б) Докажите, что основание перпендикуляра, проведенного из вершины A к плоскости грани BDC, лежит на высоте этой грани, и найдите длину этого перпендикуляра.

Подробный ответ

Так как $$AD \perp (ABC)$$, то треугольники $$BAD$$ и $$CAD$$ прямоугольные.

По теореме Пифагора:

$$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{15^2+9^2}=\sqrt{306}=3\sqrt{34}\text{ см},$$

$$CD=\sqrt{AC^2+AD^2}=\sqrt{13^2+9^2}=\sqrt{250}=5\sqrt{10}\text{ см}.$$

Найдём площадь грани $$BDC$$ по формуле Герона. Полупериметр:

$$p=\frac{BD+CD+BC}{2}=\frac{3\sqrt{34}+5\sqrt{10}+14}{2}.$$

Тогда

$$S_{BDC}=\sqrt{p(p-BD)(p-CD)(p-BC)}=105\text{ см}^2.$$

Площадь основания $$ABC$$ также найдём по формуле Герона:

$$p=\frac{13+15+14}{2}=21,$$

$$S_{ABC}=\sqrt{21\cdot(21-13)\cdot(21-15)\cdot(21-14)}=\sqrt{21\cdot 8\cdot 6\cdot 7}=84\text{ см}^2.$$

Площадь боковых граней $$ABD$$ и $$ACD$$:

$$S_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AD=\frac{1}{2}\cdot 15\cdot 9=67{,}5\text{ см}^2,$$

$$S_{ACD}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot AD=\frac{1}{2}\cdot 13\cdot 9=58{,}5\text{ см}^2.$$

Тогда полная площадь поверхности пирамиды:

$$S_{\text{полн}}=S_{ABC}+S_{ABD}+S_{ACD}+S_{BDC}=84+67{,}5+58{,}5+105=315\text{ см}^2.$$

Докажем, что основание перпендикуляра, опущенного из точки $$A$$ на плоскость грани $$BDC$$, лежит на высоте этой грани.

Пусть $$H$$ — основание перпендикуляра из точки $$D$$ на прямую $$BC$$, то есть $$DH \perp BC$$. Проведём $$AK \perp DH$$, где $$K \in DH$$. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах из $$AK \perp DH$$ и $$DH \perp BC$$ следует, что $$AK \perp BC$$. Поскольку $$BC$$ и $$DH$$ лежат в плоскости $$BDC$$, то прямая $$AK$$ перпендикулярна плоскости $$BDC$$. Значит, основание перпендикуляра из точки $$A$$ на плоскость $$BDC$$ лежит на высоте этой грани, то есть на прямой $$DH$$.

Теперь найдём длину этого перпендикуляра. Из формулы площади треугольника $$BDC$$:

$$S_{BDC}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot DH,$$

откуда

$$DH=\frac{2S_{BDC}}{BC}=\frac{2\cdot 105}{14}=15\text{ см}.$$

В прямоугольном треугольнике $$ADH$$:

$$AH=\frac{2S_{ADH}}{DH}=\frac{2\cdot \frac{1}{2}AD\cdot DH}{DH}=AD=9\text{ см}.$$

Но искомый перпендикуляр из точки $$A$$ к плоскости $$BDC$$ равен расстоянию от точки $$A$$ до этой плоскости, то есть высоте к плоскости $$BDC$$. Из прямоугольного треугольника с катетами, соответствующими высоте и проекции, получаем:

$$AE=\frac{AD\cdot AH}{DH}=\frac{9\cdot 12}{15}=7{,}2\text{ см}.$$