Упр.311 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Основанием пирамиды $$DABC$$ является треугольник со сторонами $$AC=13\text{ см}$$, $$AB=15\text{ см}$$, $$CB=14\text{ см}$$. Боковое ребро $$DA$$ перпендикулярно к плоскости основания и равно $$9\text{ см}$$. а) Найдите площадь полной поверхности пирамиды. б) Докажите, что основание перпендикуляра, проведённого из вершины $$A$$ к плоскости грани $$BDC$$, лежит на высоте этой грани, и найдите длину этого перпендикуляра.

Так как $$AD \perp (ABC),$$ то треугольники $$BAD$$ и $$CAD$$ прямоугольные.

По теореме Пифагора:

$$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{15^2+9^2}=\sqrt{306}=3\sqrt{34},$$
$$CD=\sqrt{AC^2+AD^2}=\sqrt{13^2+9^2}=\sqrt{250}=5\sqrt{10}.$$

Найдём площадь грани $$BDC$$ по формуле Герона. Полупериметр:

$$p=\frac{BC+BD+CD}{2}=\frac{14+3\sqrt{34}+5\sqrt{10}}{2}.$$

Тогда

$$S_{BDC}=\sqrt{p(p-14)(p-3\sqrt{34})(p-5\sqrt{10})}=105.$$

Площадь основания $$ABC$$:

$$p_1=\frac{13+15+14}{2}=21,$$
$$S_{ABC}=\sqrt{21\cdot 8\cdot 6\cdot 7}=84.$$

Площади боковых граней $$ABD$$ и $$ACD$$:

$$S_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AD=\frac{1}{2}\cdot 15\cdot 9=67{,}5,$$
$$S_{ACD}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot AD=\frac{1}{2}\cdot 13\cdot 9=58{,}5.$$

Следовательно, полная поверхность пирамиды равна

$$S_{\text{полн}}=S_{ABC}+S_{ABD}+S_{ACD}+S_{BDC}=84+67{,}5+58{,}5+105=315\ \text{см}^2.$$

Докажем, что основание перпендикуляра, опущенного из вершины $$A$$ на плоскость грани $$BDC,$$ лежит на высоте этой грани.

Пусть $$H$$ — основание высоты треугольника $$BDC$$, проведённой из точки $$D$$ к стороне $$BC$$, то есть $$DH\perp BC.$$ Проведём из точки $$A$$ перпендикуляр $$AE$$ к плоскости $$BDC$$.

Так как $$AD\perp (ABC),$$ а значит $$AD\perp BC,$$ и кроме того $$DH\perp BC,$$ то прямая $$BC$$ перпендикулярна плоскости $$ADH.$$ Следовательно, $$BC\perp AH.$$ По теореме о трёх перпендикулярах получаем, что $$AE\perp DH.$$ Но $$AE$$ уже перпендикулярна плоскости $$BDC,$$ значит точка $$E$$ лежит на прямой $$DH$$. Итак, основание перпендикуляра из $$A$$ к плоскости $$BDC$$ лежит на высоте этой грани.

Теперь найдём $$AE$$.

Площадь треугольника $$BDC$$ выражается через основание $$BC$$ и высоту $$DH$$:

$$S_{BDC}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot DH,$$
$$DH=\frac{2S_{BDC}}{BC}=\frac{2\cdot 105}{14}=15.$$

Аналогично для треугольника $$ABC$$:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot AH,$$
$$AH=\frac{2S_{ABC}}{BC}=\frac{2\cdot 84}{14}=12.$$

В прямоугольном треугольнике $$ADH$$:

$$AH=\frac{AD\cdot AE}{DH},$$
откуда

$$AE=\frac{AH\cdot DH}{AD}=\frac{12\cdot 15}{9}=20.$$

Ответ: $$315\ \text{см}^2,\ 20\ \text{см}.$$