Упр.310 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В пирамиде $$DABC$$ ребро $$DA$$ перпендикулярно к плоскости $$ABC$$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если $$AB=AC=25\text{ см}$$, $$BC=40\text{ см}$$, $$DA=8\text{ см}$$.

Так как $$DA \perp (ABC),$$ то треугольники $$BAD$$ и $$CAD$$ прямоугольные.

Найдём их гипотенузы по теореме Пифагора:

$$BD=\sqrt{BA^2+DA^2}=\sqrt{25^2+8^2}=\sqrt{625+64}=\sqrt{689},$$

$$CD=\sqrt{CA^2+DA^2}=\sqrt{25^2+8^2}=\sqrt{625+64}=\sqrt{689}.$$

Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей трёх боковых граней:

$$S_{\text{бок}}=S_{ABD}+S_{BCD}+S_{CAD}.$$

Площади треугольников $$ABD$$ и $$CAD$$:

$$S_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AD=\frac{1}{2}\cdot 25\cdot 8=100,$$

$$S_{CAD}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot AD=\frac{1}{2}\cdot 25\cdot 8=100.$$

Найдём площадь треугольника $$BCD$$ по формуле Герона. Его стороны:

$$BC=40,\quad BD=CD=\sqrt{689}.$$

Полупериметр:

$$p=\frac{40+\sqrt{689}+\sqrt{689}}{2}=20+\sqrt{689}.$$

Тогда

$$S_{BCD}=\sqrt{p(p-40)(p-\sqrt{689})(p-\sqrt{689})}$$
$$=\sqrt{(20+\sqrt{689})(\sqrt{689}-20)\cdot 20\cdot 20}$$
$$=\sqrt{(689-400)\cdot 400} =\sqrt{289\cdot 400} =340.$$

Следовательно,

$$S_{\text{бок}}=100+340+100=540\ \text{см}^2.$$

Ответ: $$540\ \text{см}^2$$.