Упр.310 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B пирамиде DABC ребро DA перпендикулярно к плоскости ABC. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если AB = AC = = 25 см, BC = 40 см, DA = 8 см.

Подробный ответ

Так как $$DA \perp (ABC),$$ то треугольники $$BAD$$ и $$CAD$$ прямоугольные при $$A$$.

Найдём их гипотенузы по теореме Пифагора:

$$BD=\sqrt{BA^2+DA^2}=\sqrt{25^2+8^2}=\sqrt{625+64}=\sqrt{689},$$

$$CD=\sqrt{CA^2+DA^2}=\sqrt{25^2+8^2}=\sqrt{625+64}=\sqrt{689}.$$

Теперь найдём площадь треугольника $$BCD$$ по формуле Герона. Его стороны:

$$BC=40,\quad BD=CD=\sqrt{689}.$$

Полупериметр:

$$p=\frac{BC+BD+CD}{2}=\frac{40+\sqrt{689}+\sqrt{689}}{2}=20+\sqrt{689}.$$

Тогда

$$ S_{BCD}=\sqrt{p(p-BC)(p-BD)(p-CD)} $$
$$ S_{BCD}=\sqrt{(20+\sqrt{689})(\sqrt{689}-20)\cdot 20 \cdot 20} $$
$$ S_{BCD}=\sqrt{(689-400)\cdot 400}=\sqrt{289\cdot 400}=340\text{ см}^2. $$

Площади боковых граней $$ABD$$ и $$ACD$$ равны:

$$S_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AD=\frac{1}{2}\cdot 25\cdot 8=100\text{ см}^2,$$

$$S_{ACD}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot AD=\frac{1}{2}\cdot 25\cdot 8=100\text{ см}^2.$$

Следовательно, площадь боковой поверхности пирамиды:

$$S_{\text{бок}}=S_{ABD}+S_{BCD}+S_{ACD}=100+340+100=540\text{ см}^2.$$