Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.31 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ катеты $$AB$$ и $$AC$$ равны $$4$$ и $$3$$, точка $$D$$ — середина гипотенузы $$BC$$. Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники $$ADC$$ и $$ABD$$.
В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ по теореме Пифагора находим гипотенузу:
$$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5.$$
Так как $$D$$ — середина гипотенузы $$BC$$, то в прямоугольном треугольнике $$ABC$$ имеем
$$AD=BD=CD=\frac{BC}{2}=\frac{5}{2}.$$
Пусть $$E$$ и $$F$$ — центры вписанных окружностей треугольников $$ABD$$ и $$ADC$$ соответственно. Тогда $$E$$ и $$F$$ лежат на биссектрисах углов при вершине $$D$$, а расстояния от них до сторон треугольников равны радиусам вписанных окружностей.
Найдём эти радиусы.
Для треугольника $$ABD$$:
$$S_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot DM=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot \frac{3}{2}=3,$$
где $$DM$$ — высота к основанию $$AB$$, а $$DM=\frac{3}{2}$$.
Тогда по формуле $$S=pr$$, где $$p$$ — полупериметр, получаем
$$r_1=\frac{2S_{ABD}}{AB+BD+AD}=\frac{2\cdot 3}{4+\frac{5}{2}+\frac{5}{2}}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}.$$
Для треугольника $$ADC$$:
$$S_{ADC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot DN=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 2=3,$$
где $$DN=2$$.
Тогда
$$r_2=\frac{2S_{ADC}}{AC+CD+AD}=\frac{2\cdot 3}{3+\frac{5}{2}+\frac{5}{2}}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.$$
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами
$$DE=AD-r_1=\frac{5}{2}-\frac{2}{3}=\frac{11}{6},$$
$$DF=AD-r_2=\frac{5}{2}-\frac{3}{4}=\frac{7}{4}.$$
Тогда расстояние между центрами окружностей:
$$EF=\sqrt{DE^2+DF^2}=\sqrt{\left(\frac{11}{6}\right)^2+\left(\frac{7}{4}\right)^2}.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$EF=\sqrt{\frac{121}{36}+\frac{49}{16}}=\sqrt{\frac{484+441}{144}}=\sqrt{\frac{925}{144}}=\frac{5\sqrt{37}}{12}.$$
Ответ: $$\frac{5\sqrt{37}}{12}.$$
