Упр.309 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Основанием пирамиды с равными боковыми ребрами является прямоугольник со сторонами 6 дм и 8 дм. Высота пирамиды равна 6 дм. Найдите площадь сечения, проведенного через меньшую сторону и середину высоты.

Подробный ответ

Так как боковые рёбра пирамиды равны, то вершина пирамиды проектируется в центр основания. Следовательно, высота пирамиды проходит через центр прямоугольника основания.

Обозначим основание прямоугольника $$ABCD$$, где $$AD=6$$ дм, $$AB=8$$ дм. Пусть $$O$$ — центр основания, $$P$$ — середина высоты пирамиды. Через точку $$P$$ проведём сечение, пересекающее рёбра $$KA$$ и $$KD$$ в точках $$E$$ и $$F$$ соответственно. Тогда сечение — четырёхугольник $$DEFA$$, причём $$EF \parallel AD$$.

Найдём длину $$EF$$. Из подобия соответствующих треугольников получаем отношение

$$\frac{EF}{AD}=\frac{KP}{KO}=\frac{1}{2}.$$

Значит,

$$EF=\frac{AD}{2}=\frac{6}{2}=2 \text{ дм}.$$

Теперь найдём высоту трапеции $$DEFA$$. Она равна расстоянию между прямыми $$AD$$ и $$EF$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором один катет равен половине диагонали основания:

$$\frac{AB}{2}=4 \text{ дм}.$$

Тогда высота трапеции равна

$$h=\sqrt{3^2+4^2}=5 \text{ дм}.$$

Площадь сечения:

$$ S_{DEFA}=\frac{1}{2}(AD+EF)\cdot h =\frac{1}{2}(6+2)\cdot 5 =20 \text{ дм}^2. $$