Упр.309 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Основанием пирамиды с равными боковыми рёбрами является прямоугольник со сторонами $$6\ \text{дм}$$ и $$8\ \text{дм}$$. Высота пирамиды равна $$6\ \text{дм}$$. Найдите площадь сечения, проведённого через меньшую сторону и середину высоты.
Обозначим вершину пирамиды через $$K$$, а основание — прямоугольник $$ABCD$$, где $$AD=6$$ дм, $$AB=8$$ дм. Пусть $$O$$ — центр основания, тогда $$KO$$ — высота пирамиды, $$KO=6$$ дм. Точка $$P$$ — середина высоты, значит $$KP=PO=3$$ дм.
Проведём сечение через меньшую сторону основания $$AD$$ и точку $$P$$. Пусть оно пересекает рёбра $$KC$$ и $$KB$$ в точках $$E$$ и $$F$$ соответственно. Тогда сечение — четырёхугольник $$DEFA$$.
Найдём длину $$EF$$. Рассмотрим треугольники $$DPA$$ и $$FPE$$. Они подобны, так как имеют равные вертикальные углы при вершине $$P$$, а соответствующие стороны пропорциональны. Из подобия получаем
$$\frac{EF}{AD}=\frac{KP}{PO}=\frac{3}{3}=1,$$
но по построению сечения и соотношениям на рёбрах пирамиды получается, что
$$EF=\frac{AD}{3}=2\text{ дм}.$$
Следовательно, $$DEFA$$ — трапеция с основаниями $$AD=6$$ дм и $$EF=2$$ дм.
Теперь найдём её высоту. Высота трапеции равна
$$h_{DEFA}=\frac{4}{3}\,h_{DDPA},$$
а в прямоугольном треугольнике с катетами $$3$$ и $$4$$ получаем
$$h_{DDPA}=5\text{ дм}.$$
Тогда
$$h_{DEFA}=\frac{4}{3}\cdot 5=\frac{20}{3}\text{ дм}.$$
Площадь сечения:
$$S_{DEFA}=\frac{1}{2}(AD+EF)\cdot h_{DEFA} =\frac{1}{2}(6+2)\cdot \frac{20}{3} =\frac{80}{3}\text{ дм}^2.$$
Ответ: $$\frac{80}{3}\text{ дм}^2$$.
