Упр.308 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Основанием пирамиды является ромб со стороной $$5\ \text{см}$$ и меньшей диагональю $$6\ \text{см}$$. Высота пирамиды, равная $$3{,}2\ \text{см}$$, проходит через точку пересечения диагоналей ромба. Найдите высоты боковых граней пирамиды, проведённые из её вершины.
Обозначим через $$O$$ точку пересечения диагоналей ромба. Тогда $$O$$ — центр основания пирамиды, а высота пирамиды $$KO=3{,}2$$ см.
Так как основание — ромб со стороной $$5$$ см и меньшей диагональю $$6$$ см, то
$$BD=6\text{ см},\qquad BO=\frac{BD}{2}=3\text{ см}.$$
В ромбе диагонали перпендикулярны, значит $$\angle AOB=90^\circ$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOB$$:
$$AO=\sqrt{AB^2-BO^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=4\text{ см}.$$
Тогда в прямоугольном треугольнике $$BOC$$ высота из точки $$O$$ к гипотенузе $$BC$$ равна
$$OH=\frac{BO\cdot OC}{BC}=\frac{3\cdot 4}{5}=2{,}4\text{ см}.$$
Теперь в прямоугольном треугольнике $$KOH$$ найдём высоту боковой грани:
$$KH=\sqrt{KO^2+OH^2}=\sqrt{3{,}2^2+2{,}4^2}=\sqrt{10{,}24+5{,}76}=\sqrt{16}=4\text{ см}.$$
По симметрии ромба все высоты боковых граней пирамиды равны, значит каждая из них равна $$4$$ см.
Ответ: $$4$$ см.
