Упр.307 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B правильной пирамиде MABCD AM = b, AD = а. а) Постройте сечение пирамиды плоскостью а, проходящей через диагональ BD основания параллельно ребру MA, и найдите площадь сечения, б) Докажите, что точки M и C равноудалены от плоскости а.
Обозначим середину стороны $$MC$$ через $$H$$. Тогда $$MH=HC$$.
а) Рассмотрим треугольник $$AMC$$. Так как $$H$$ — середина $$MC$$, то отрезок $$OH$$ является средней линией треугольника $$AMC$$, следовательно, $$OH \parallel AM$$.
Плоскость сечения проходит через диагональ $$BD$$ основания и параллельна ребру $$MA$$. Значит, в основании сечение проходит через прямую $$BD$$, а в боковой грани $$MCD$$ — через отрезок, параллельный $$MA$$. Получаем сечение $$BHD$$.
Так как $$ABCD$$ — квадрат, то $$BD$$ — диагональ квадрата, поэтому
$$DB=a\sqrt{2}.$$
В правильной пирамиде $$MABCD$$ точка $$O$$ — центр квадрата, а значит, $$O$$ лежит на диагонали $$BD$$. Кроме того, в равнобедренном треугольнике $$MCD$$ отрезок $$HO$$, проведённый к середине основания, является высотой, поэтому $$OH \perp BD$$.
Тогда площадь сечения $$BHD$$ равна
$$ S_{BHD}=\frac12 \cdot BD \cdot OH. $$
Из подобия и свойств правильной пирамиды получаем $$OH=\frac{b}{2}$$, поэтому
$$ S_{BHD}=\frac12 \cdot a\sqrt{2}\cdot \frac{b}{2} =\frac{ab}{2\sqrt{2}}. $$
б) Проведём перпендикуляры из точек $$M$$ и $$C$$ к плоскости $$BHD$$. Пусть их основания — $$M_1$$ и $$C_1$$ соответственно. Тогда отрезки $$MM_1$$ и $$CC_1$$ параллельны, так как обе прямые перпендикулярны одной и той же плоскости.
Рассмотрим плоскость $$MHC$$. В ней лежат прямые $$MH$$ и $$CH$$, причём $$MH=HC$$. Треугольники $$\triangle MHM_1$$ и $$\triangle CHC_1$$ прямоугольные, имеют общий острый угол при $$H$$ и равные гипотенузы $$MH=HC$$, значит, они равны. Следовательно,
$$MM_1=CC_1.$$
Но $$MM_1$$ и $$CC_1$$ — это расстояния от точек $$M$$ и $$C$$ до плоскости $$BHD$$. Значит, точки $$M$$ и $$C$$ равноудалены от этой плоскости.
Ответ
$$S_{BHD}=\frac{ab}{2\sqrt{2}}.$$ Точки $$M$$ и $$C$$ равноудалены от плоскости сечения.