Упр.307 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В правильной пирамиде $$MABCD$$ $$AM=b$$, $$AD=a$$.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью $$\alpha$$, проходящей через диагональ $$BD$$ основания параллельно ребру $$MA$$, и найдите площадь сечения.

б) Докажите, что точки $$M$$ и $$C$$ равноудалены от плоскости $$\alpha$$.

Подробный ответ

Обозначим середину стороны $$MC$$ через $$H$$. Тогда $$MH=HC$$.

Ход решения

а) Рассмотрим треугольник $$AMC$$. Так как $$ABCD$$ — квадрат, то его диагонали пересекаются в центре $$O$$, а прямая $$OH$$, соединяющая центр квадрата с серединой ребра $$MC$$, является средней линией треугольника $$AMC$$. Следовательно,

$$OH \parallel AM.$$

По условию плоскость $$\alpha$$ проходит через диагональ $$BD$$ и параллельна ребру $$MA$$. Значит, в плоскости $$\alpha$$ лежит прямая через $$H$$, параллельная $$AM$$, то есть сечение пирамиды — треугольник $$BHD$$.

В треугольнике $$DHB$$ отрезок $$HO$$ является медианой, а так как $$\triangle DHB$$ равнобедренный, то эта медиана является и высотой:

$$HO \perp BD.$$

Тогда площадь сечения равна

$$S_{BHD}=\frac12 \cdot BD \cdot HO.$$

Так как $$ABCD$$ — квадрат со стороной $$a$$, то

$$BD=a\sqrt2.$$

Из подобия и свойств средней линии получаем

$$OH=\frac{AM}{2}=\frac{b}{2}.$$

Следовательно,

$$S_{BHD}=\frac12 \cdot a\sqrt2 \cdot \frac{b}{2} =\frac{ab}{2\sqrt2}.$$

б) Проведём перпендикуляры из точек $$M$$ и $$C$$ к плоскости $$\alpha$$. Пусть $$MH_m \perp \alpha$$ и $$CH_c \perp \alpha$$. Тогда отрезки $$MH_m$$ и $$CH_c$$ параллельны, так как оба перпендикулярны одной и той же плоскости.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle MHH_m$$ и $$\triangle CHH_c$$. У них

$$MH=HC,$$

а также

$$\angle MHH_m=\angle CHH_c=90^\circ.$$

Кроме того, соответствующие углы при вершине $$H$$ равны как вертикальные. Значит, треугольники равны, откуда

$$MH_m=CH_c.$$

Итак, точки $$M$$ и $$C$$ равноудалены от плоскости $$\alpha$$.