Упр.306 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна $$h$$ и составляет угол $$\varphi$$ с плоскостью боковой грани. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Пусть $$ABCDK$$ — правильная четырёхугольная пирамида, $$O$$ — центр квадрата основания, $$KO=h$$, $$\angle OKH=\varphi$$.

Найдём площадь полной поверхности пирамиды как сумму площади основания и площади боковой поверхности:

$$S_{\text{полн}}=S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}}.$$

Так как пирамида правильная, все боковые грани равны, поэтому

$$S_{\text{бок}}=4S_{\triangle BKC}=2\cdot BC\cdot KH.$$

Обозначим сторону квадрата основания через $$x$$. Тогда

$$OH=\frac{x}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$OKH$$ имеем

$$\tan\varphi=\frac{OH}{KO}=\frac{x/2}{h},$$

откуда

$$x=2h\tan\varphi.$$

Следовательно, площадь основания равна

$$S_{\text{осн}}=x^2=4h^2\tan^2\varphi.$$

Из прямоугольного треугольника $$OKH$$ также получаем

$$\cos\varphi=\frac{OK}{KH}=\frac{h}{KH},$$

значит

$$KH=\frac{h}{\cos\varphi}.$$

Тогда площадь боковой поверхности:

$$S_{\text{бок}}=2\cdot BC\cdot KH=2x\cdot \frac{h}{\cos\varphi}=4h^2\frac{\tan\varphi}{\cos\varphi}.$$

Итак,

$$S_{\text{полн}}=4h^2\tan^2\varphi+4h^2\frac{\tan\varphi}{\cos\varphi}.$$

Вынесем общий множитель:

$$S_{\text{полн}}=4h^2\tan\varphi\left(\tan\varphi+\frac{1}{\cos\varphi}\right).$$

Ответ: $$S_{\text{полн}}=4h^2\tan\varphi\left(\tan\varphi+\frac{1}{\cos\varphi}\right).$$