Упр.305 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна $$h$$, плоский угол при вершине равен $$\alpha$$. Найдите площадь боковой поверхности.

Обозначим сторону основания правильной четырёхугольной пирамиды через $$x$$. Тогда площадь боковой поверхности равна сумме площадей четырёх равных боковых граней:

$$S_{\text{бок}}=4S_{\triangle KBC}=2\cdot BC\cdot KH.$$

Так как основание — квадрат, то

$$BC=x,\qquad OB=\frac{x}{\sqrt2}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$KOH$$, где $$KO=h$$. Тогда

$$\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{BH}{KH}=\frac{x/2}{KH},$$

откуда

$$KH=\frac{x}{2\tg\frac{\alpha}{2}}.$$

В прямоугольном треугольнике $$KHB$$ имеем

$$\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{BH}{KH}=\frac{x/2}{\sqrt{h^2+\frac{x^2}{4}}}.$$

Возведём в квадрат и преобразуем:

$$\frac{x^2}{4}=\tg^2\frac{\alpha}{2}\left(h^2+\frac{x^2}{4}\right)$$
$$\frac{x^2}{4}\left(1-\tg^2\frac{\alpha}{2}\right)=h^2\tg^2\frac{\alpha}{2}$$
$$x=2h\cdot \tg\frac{\alpha}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-\tg^2\frac{\alpha}{2}}}.$$

Тогда

$$S_{\text{бок}}=2\cdot BC\cdot KH =2\cdot x\cdot \frac{x}{2\tg\frac{\alpha}{2}} =\frac{x^2}{\tg\frac{\alpha}{2}}.$$

Подставляя найденное выражение для $$x$$, получаем:

$$S_{\text{бок}}=2h^2\tg\alpha.$$

Ответ: $$S_{\text{бок}}=2h^2\tg\alpha$$.