Упр.305 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B правильной четырехугольной пирамиде высота равна h, плоский угол при вершине равен а. Найдите площадь боковой поверхности.

Подробный ответ

Обозначим сторону основания правильной четырёхугольной пирамиды через $$x$$. Тогда основание — квадрат, а площадь боковой поверхности состоит из четырёх равных треугольников:

$$S_{\text{бок}}=4S_{\triangle KBC}=2\cdot BC\cdot KH.$$

Так как $$ABCD$$ — квадрат, то расстояние от центра основания $$O$$ до вершины $$B$$ равно

$$OB=\frac{x}{\sqrt{2}}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$KOH$$, где $$KO=h$$. Тогда

$$\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{BH}{KH}.$$

Из прямоугольного треугольника $$KHB$$ имеем $$\angle HKB=\frac{\alpha}{2}$$, поэтому

$$\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{BH}{KH}=\frac{x/2}{\sqrt{h^2+\frac{x^2}{4}}}.$$

Отсюда

$$\frac{x^2}{4}=\tg^2\frac{\alpha}{2}\left(h^2+\frac{x^2}{4}\right),$$

$$\frac{x^2}{4}\left(1-\tg^2\frac{\alpha}{2}\right)=h^2\tg^2\frac{\alpha}{2},$$

$$x=2h\,\tg\frac{\alpha}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-\tg^2\frac{\alpha}{2}}}.$$

Тогда

$$KH=\frac{x}{2\tg\frac{\alpha}{2}}=h\cdot \frac{1}{\sqrt{1-\tg^2\frac{\alpha}{2}}}.$$

Теперь найдём площадь боковой поверхности:

$$S_{\text{бок}}=2\cdot BC\cdot KH=2\cdot x\cdot KH.$$

Подставим найденные выражения для $$x$$ и $$KH$$:

$$S_{\text{бок}}=2\cdot \left(2h\,\tg\frac{\alpha}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-\tg^2\frac{\alpha}{2}}}\right)\cdot \left(h\cdot \frac{1}{\sqrt{1-\tg^2\frac{\alpha}{2}}}\right).$$

Используем формулу

$$\tg\alpha=\frac{2\tg\frac{\alpha}{2}}{1-\tg^2\frac{\alpha}{2}}.$$

Тогда получаем

$$S_{\text{бок}}=2h^2\tg\alpha.$$