Упр.304 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен 60°. Докажите, что двугранный угол между боковой гранью и основанием пирамиды вдвое меньше двугранного угла при боковом ребре.

Подробный ответ

Так как пирамида правильная, то все её боковые рёбра равны, а основание $$ABCD$$ — квадрат. Следовательно, треугольник $$AKB$$ равнобедренный, и при $$\angle AKB=60^\circ$$ он равносторонний. Значит,

$$AK=BK=AB=x.$$

Проведём из центра основания $$O$$ перпендикуляры к сторонам $$BC$$ и $$CD$$. Тогда углы $$\angle OEK$$ и $$\angle OHB$$ являются линейными двугранными углами соответственно при ребрах $$BC$$ и $$CD$$, то есть

$$\angle OEK=\angle ABCK,\qquad \angle OHB=\angle BKCD.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$OEK$$ и $$OHB$$.

Так как $$ABCD$$ — квадрат, то

$$OE=\frac{AB}{2}=\frac{x}{2}.$$

В треугольнике $$AKC$$ имеем

$$AK^2+KC^2=x^2+x^2=2x^2,$$

а диагональ квадрата

$$AC=x\sqrt2,$$

поэтому треугольник $$AKC$$ прямоугольный. Отсюда следует, что $$OH\parallel AK$$, и по теореме Фалеса

$$OH=\frac{x}{2}=OE.$$

Кроме того, в треугольнике $$BKC$$ все высоты равны, значит

$$KE=HB.$$

Итак, прямоугольные треугольники $$OHB$$ и $$OEK$$ равны по гипотенузе и катету, следовательно,

$$\angle OHB=\angle OEK.$$

Но $$\angle OHB=\angle BKCD$$, а $$\angle OEK=\angle ABCK$$. Значит, двугранные углы при боковом ребре и при боковой грани равны соответствующим углам в равных треугольниках, и из построения медиана $$HO$$ в равнобедренном треугольнике $$DHB$$ является биссектрисой. Поэтому

$$\angle OHB=\frac12\,\angle DHB.$$

Следовательно,

$$\angle BKCD=2\angle ABCK,$$

что и требовалось доказать.