Упр.304 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В правильной четырёхугольной пирамиде плоский угол при вершине равен $$60^\circ$$. Докажите, что двугранный угол между боковой гранью и основанием пирамиды вдвое меньше двугранного угла при боковом ребре.
Так как $$\triangle AKB$$ равнобедренный и $$\angle AKB=60^\circ,$$ то его углы при основании тоже равны $$60^\circ.$$ Значит, $$\triangle AKB$$ равносторонний, следовательно, все боковые рёбра пирамиды равны. Обозначим их длину через $$x.$$
Проведём из центра основания $$O$$ перпендикуляры к сторонам квадрата $$ABCD$$. Тогда отрезки, лежащие в боковых гранях и перпендикулярные соответствующим рёбрам основания, задают линейные двугранные углы: $$\angle DHB$$ — двугранный угол между боковой гранью $$KBC$$ и основанием, а $$\angle OEK$$ — двугранный угол при боковом ребре $$KB$$.
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$OEK$$ и $$OHB$$.
Так как $$ABCD$$ — квадрат, то
$$OE=\frac{AB}{2}=\frac{x}{2}.$$
В треугольнике $$AKC$$ имеем
$$AK^2+KC^2=x^2+x^2=2x^2,$$
а диагональ квадрата равна $$AC=x\sqrt2,$$ значит, $$\triangle AKC$$ прямоугольный. Отсюда по построению $$OH\parallel AK,$$ поэтому по теореме Фалеса
$$OH=\frac{x}{2}=OE.$$
В треугольнике $$BKC$$ все боковые рёбра равны, значит, он равносторонний, и высоты в нём равны:
$$KE=HB.$$
Следовательно, прямоугольные треугольники $$OEK$$ и $$OHB$$ равны по гипотенузе и катету, откуда
$$\angle OEK=\angle OHB.$$
Но $$\angle OEK$$ — линейный угол двугранного угла при боковом ребре, а $$\angle DHB$$ — линейный угол двугранного угла между боковой гранью и основанием. В равнобедренном треугольнике $$DHB$$ отрезок $$HO$$ является медианой и биссектрисой, поэтому
$$\angle OHB=\frac12\,\angle DHB.$$
Значит, двугранный угол между боковой гранью и основанием вдвое меньше двугранного угла при боковом ребре.
