Упр.302 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами $$3\ \text{см}$$ и $$7\ \text{см}$$ и одной из диагоналей $$6\ \text{см}$$. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна $$4\ \text{см}$$. Найдите боковые рёбра пирамиды.

Пусть $$O$$ — точка пересечения диагоналей основания. Тогда, так как основание — параллелограмм, имеем $$OA=OC$$ и $$OB=OD$$. Высота пирамиды проходит через точку $$O$$, значит $$KO=4$$ см.

Найдём сначала диагональ $$BD$$. В параллелограмме со сторонами $$3$$ см и $$7$$ см и диагональю $$BD=6$$ см рассмотрим треугольник $$AOB$$. По теореме косинусов:

$$AB^2=AO^2+BO^2-2\cdot AO\cdot BO\cdot \cos\angle AOB$$
$$9=AO^2+BO^2-2\cdot AO\cdot BO\cdot \cos\angle AOB$$

Аналогично для треугольника $$COB$$:

$$BC^2=CO^2+BO^2-2\cdot CO\cdot BO\cdot \cos\angle COB$$

Так как $$\angle AOB$$ и $$\angle COB$$ — смежные, то $$\cos\angle AOB=-\cos\angle COB$$. Кроме того, $$AO=CO$$. Тогда из двух формул получаем:

$$AB^2+BC^2=2\bigl(AO^2+BO^2\bigr)$$
$$9+49=2\bigl(AO^2+BO^2\bigr)$$
$$AO^2+BO^2=29$$

Но в прямоугольном треугольнике $$AOB$$:

$$AB^2=AO^2+BO^2-2\cdot AO\cdot BO\cdot \cos\angle AOB$$

Удобнее сразу найти диагонали параллелограмма по формуле:

$$d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2)$$

где $$a=3$$, $$b=7$$. Тогда

$$6^2+d_2^2=2(3^2+7^2)$$
$$36+d_2^2=2(9+49)=116$$
$$d_2^2=80,\qquad d_2=4\sqrt5$$

Следовательно, вторая диагональ основания равна $$4\sqrt5$$ см, а потому

$$OB=\frac{BD}{2}=3,\qquad OC=\frac{AC}{2}=2\sqrt5$$

Теперь найдём боковые рёбра. В прямоугольных треугольниках $$KOB$$ и $$KOC$$:

$$KB=\sqrt{KO^2+OB^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$$

$$KC=\sqrt{KO^2+OC^2}=\sqrt{4^2+(2\sqrt5)^2}=\sqrt{16+20}=6$$

Так как вершина пирамиды расположена над центром параллелограмма, то противоположные боковые рёбра попарно равны:

$$KA=KC,\qquad KD=KB$$

Значит,

$$KA=KC=6\text{ см},\qquad KB=KD=5\text{ см}.$$

Ответ: $$KB=KD=5$$ см, $$KA=KC=6$$ см.