Упр.301 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Двугранный угол при боковом ребре правильной треугольной пирамиды $$DABC$$ равен $$120^\circ$$. Расстояние от вершины $$B$$ до бокового ребра $$DA$$ равно $$16\ \text{см}$$. Найдите апофему пирамиды.

Пусть $$H$$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $$B$$ на ребро $$AD$$. Тогда $$BH\perp AD$$. В правильной пирамиде боковые рёбра равны, значит $$CB=CD$$, а в треугольнике $$BCD$$ отрезок $$CH$$ тоже перпендикулярен $$AD$$. Следовательно, $$H$$ — середина ребра $$AD$$.

Рассмотрим треугольник $$BCH$$. По условию $$\angle BDC=120^\circ$$, а значит и угол между прямыми $$BC$$ и $$CH$$ равен $$120^\circ$$. Тогда по теореме косинусов:

$$BC^2=BH^2+CH^2-2\cdot BH\cdot CH\cdot \cos 120^\circ$$
$$BC^2=16^2+16^2-2\cdot 16\cdot 16\cdot \left(-\frac12\right)=16^2\cdot 3$$
$$BC=16\sqrt3$$

В прямоугольном треугольнике $$ABH$$ по теореме Пифагора:

$$AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{(16\sqrt3)^2-16^2}=16\sqrt2$$

Так как $$H$$ — середина ребра $$AD$$, то $$AH=DE$$, где $$DE$$ — апофема пирамиды. Найдём её из прямоугольного треугольника $$AEH$$:

$$\tan \angle BAD=\frac{BH}{AH}=\frac{16}{16\sqrt2}=\frac1{\sqrt2}$$

Отсюда

$$\frac{DE}{EA}=\frac1{\sqrt2}$$

Так как $$EA=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{16\sqrt3}{2}=8\sqrt3$$, получаем:

$$DE=\frac{EA}{\sqrt2}=\frac{8\sqrt3}{\sqrt2}=4\sqrt6$$

Ответ: $$4\sqrt6$$ см.