Упр.301 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Двугранный угол при боковом ребре правильной треугольной пирамиды DABC равен 120°. Расстояние от вершины B до бокового ребра DA равно 16 см. Найдите апофему пирамиды.

Пусть $$H$$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $$B$$ на ребро $$AD$$. Тогда $$BH \perp AD$$. В правильной пирамиде боковые грани равны, поэтому $$CH \perp AD$$ тоже.

Следовательно, угол $$\angle BHC$$ равен двугранному углу при ребре $$AD$$, то есть

$$\angle BHC=120^\circ.$$

В треугольнике $$BHC$$ по теореме косинусов:

$$ BC^2=BH^2+CH^2-2\cdot BH\cdot CH\cdot \cos 120^\circ. $$

Так как $$BH=CH=16$$, получаем

$$ BC^2=16^2+16^2-2\cdot 16\cdot 16\cdot \left(-\frac12\right)=3\cdot 16^2, $$

откуда

$$BC=16\sqrt{3}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABH$$. По теореме Пифагора:

$$ AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{(16\sqrt{3})^2-16^2}=16\sqrt{2}. $$

В треугольнике $$AHD$$ угол при вершине $$H$$ прямой, поэтому

$$ \tan \angle BAD=\frac{DH}{AH}. $$

Но в правильной пирамиде $$\angle BAD=\angle BAH$$, а из треугольника $$ABH$$

$$ \tan \angle BAD=\frac{BH}{AH}=\frac{16}{16\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}. $$

Тогда в прямоугольном треугольнике $$ADE$$, где $$DE$$ — апофема, имеем

$$ \tan \angle BAD=\frac{DE}{EA}. $$

Так как $$EA=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{16\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3},$$ то

$$ DE=EA\cdot \tan \angle BAD=8\sqrt{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=4\sqrt{6}. $$

Ответ

$$4\sqrt{6}\text{ см}$$