Упр.30 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Основание $$AB$$ трапеции $$ABCD$$ параллельно плоскости $$\alpha$$, а вершина $$C$$ лежит в этой плоскости. Докажите, что: а) основание $$CD$$ трапеции лежит в плоскости $$\alpha$$; б) средняя линия трапеции параллельна плоскости $$\alpha$$.
Пусть плоскость трапеции $$ABCD$$ пересекает плоскость $$\alpha$$ по прямой, проходящей через точку $$C$$.
Так как $$AB \parallel \alpha$$, то прямая пересечения плоскостей $$ABCD$$ и $$\alpha$$ параллельна прямой $$AB$$. Следовательно, через точку $$C$$ в плоскости $$ABCD$$ можно провести прямую, параллельную $$AB$$, и эта прямая лежит в плоскости $$\alpha$$.
Но в трапеции $$ABCD$$ основания параллельны, значит $$AB \parallel CD$$. Через точку $$C$$ в плоскости $$ABCD$$ проходит единственная прямая, параллельная $$AB$$, поэтому эта прямая совпадает с $$CD$$. Отсюда $$CD \subset \alpha$$.
Теперь рассмотрим среднюю линию $$EF$$ трапеции. По свойству средней линии трапеции имеем $$EF \parallel CD$$. Так как $$CD \subset \alpha$$, а прямая $$EF$$ не лежит в плоскости $$\alpha$$, то прямая, параллельная прямой, лежащей в данной плоскости, параллельна этой плоскости. Значит, $$EF \parallel \alpha$$.
Ответ: $$CD \subset \alpha$$, $$EF \parallel \alpha$$.
