Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.30 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: На стороне ВА угла АВС, равного 30°, взята такая точка D, что AD=2 и BD=1. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D и касающейся прямой ВС.

Обозначим через $$E$$ точку касания окружности с прямой $$BC$$, а через $$O$$ — центр окружности. Тогда $$OE \perp BC$$, значит $$OE$$ — радиус.

Так как точки $$A, D, B$$ лежат на одной прямой и $$\angle ABC=30^\circ$$, то $$\angle DBE=30^\circ$$.

В треугольнике $$BDE$$ по теореме косинусов:

$$ DE^2=BD^2+BE^2-2\cdot BD\cdot BE\cos \angle DBE. $$

Найдём $$BE$$. Для окружности, проходящей через $$A$$ и $$D$$ и касающейся прямой $$BC$$, выполняется свойство степени точки $$B$$:

$$ BE^2=AB\cdot BD. $$

Так как $$AB=AD+DB=2+1=3$$, то

$$ BE^2=3\cdot 1=3,\qquad BE=\sqrt3. $$

Тогда

$$ DE^2=1+3-2\cdot 1\cdot \sqrt3\cdot \cos 30^\circ =4-2\sqrt3\cdot \frac{\sqrt3}{2} =4-3=1, $$

значит $$DE=1$$.

В треугольнике $$BDE$$ по теореме синусов:

$$ \frac{DE}{\sin \angle DBE}=\frac{BD}{\sin \angle BED}. $$

Подставим значения:

$$ \frac{1}{\sin 30^\circ}=\frac{1}{\sin \angle BED}, \qquad 2=\frac{1}{\sin \angle BED}, $$

откуда

$$ \sin \angle BED=\frac12. $$

Так как угол $$\angle BED$$ острый, то $$\angle BED=30^\circ$$. Следовательно,

$$ \angle OED=90^\circ-\angle BED=60^\circ. $$

В треугольнике $$OED$$ имеем $$OE=OD$$ как радиусы, значит треугольник равнобедренный. При этом $$\angle OED=60^\circ$$, поэтому и $$\angle EOD=60^\circ$$, а значит треугольник $$OED$$ равносторонний. Следовательно,

$$ OE=DE=1. $$

Итак, радиус окружности равен $$1$$.

Ответ

$$1$$