Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.30 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

На стороне $$BA$$ угла $$ABC$$, равного $$30^\circ$$, взята такая точка $$D$$, что $$AD=2$$ и $$BD=1$$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $$A$$, $$D$$ и касающейся прямой $$BC$$.

Обозначим через $$E$$ точку касания окружности с прямой $$BC$$, а через $$O$$ — центр окружности. Тогда $$OE \perp BC$$, значит $$OE \perp BE$$.

Так как $$\angle ABC=30^\circ$$ и точки $$A,D,B$$ лежат на одной прямой, то $$\angle DBE=30^\circ$$.

В треугольнике $$BDE$$ по теореме косинусов:

$$DE^2=BD^2+BE^2-2\cdot BD\cdot BE\cos 30^\circ.$$

Найдём $$BE$$. В треугольнике $$ABE$$:

$$AB=AD+DB=2+1=3,$$
$$BE^2=AB\cdot BD=3\cdot 1=3,$$
откуда $$BE=\sqrt3$$.

Тогда

$$DE^2=1+3-2\cdot 1\cdot \sqrt3\cdot \frac{\sqrt3}{2}=1,$$
значит $$DE=1$$.

В треугольнике $$BDE$$ по теореме синусов:

$$\frac{DE}{\sin 30^\circ}=\frac{BD}{\sin \angle BED},$$
$$\frac{1}{1/2}=\frac{1}{\sin \angle BED},$$
откуда $$\sin \angle BED=\frac12$$, значит $$\angle BED=30^\circ$$.

Следовательно,

$$\angle OED=90^\circ-\angle BED=60^\circ.$$

Так как $$OE=OD$$ — радиусы одной окружности, то треугольник $$OED$$ равнобедренный, и при $$\angle OED=60^\circ$$ он равносторонний. Значит,

$$OE=DE=1.$$

Радиус окружности равен $$1$$.

Ответ: $$1$$.