Упр.30 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Основание AB трапеции ABCD параллельно плоскости а, a вершина C лежит в этой плоскости. Докажите, что: а) основание CD трапеции лежит в плоскости а; б) средняя линия трапеции параллельна плоскости а.

Подробный ответ

а) Рассмотрим плоскость трапеции $$ABCD$$. Она проходит через прямую $$AB$$, параллельную плоскости $$\alpha$$, и пересекает плоскость $$\alpha$$ в точке $$C$$. По теореме о прямой, параллельной плоскости, линия пересечения плоскостей $$ABCD$$ и $$\alpha$$ параллельна прямой $$AB$$.

Так как в трапеции $$ABCD$$ основания параллельны, то $$AB \parallel CD$$. Через точку $$C$$ в плоскости $$ABCD$$ можно провести единственную прямую, параллельную $$AB$$. Следовательно, эта прямая совпадает с $$CD$$. Значит, $$CD$$ лежит в плоскости $$\alpha$$.

б) Пусть $$E$$ и $$F$$ — середины боковых сторон трапеции $$AD$$ и $$BC$$, тогда $$EF$$ — её средняя линия. Средняя линия трапеции параллельна основаниям, значит $$EF \parallel CD$$. Поскольку $$CD \subset \alpha$$, а прямая $$EF$$ не лежит в плоскости $$\alpha$$, то по теореме о прямой, параллельной прямой, лежащей в плоскости, получаем $$EF \parallel \alpha$$.