Исследовательские задачи Упр.3 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Тетраэдр называется каркасным, если существует сфера, касающаяся всех рёбер тетраэдра. Докажите, что тетраэдр является каркасным тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих условий: а) суммы длин противоположных рёбер тетраэдра равны; б) суммы двугранных углов при противоположных рёбрах тетраэдра равны; в) окружности, вписанные в грани тетраэдра, попарно касаются друг друга (это означает, что каждые две окружности, вписанные в грани тетраэдра с общим ребром, касаются этого ребра в одной и той же точке); г) все четырёхугольники, получающиеся на развёртке тетраэдра, являются описанными; д) четыре прямые, каждая из которых проходит через центр вписанной в грань тетраэдра окружности и перпендикулярна к этой грани, пересекаются в одной точке.
Докажем эквивалентность каждого из условий каркасности тетраэдра.
а) Суммы длин противоположных рёбер равны
Пусть сфера касается всех рёбер тетраэдра. Рассмотрим две грани, имеющие общее ребро. В каждой из них сфера даёт вписанную окружность, а соответствующие четырёхугольники на проекциях являются описанными. Для описанного четырёхугольника сумма длин противоположных сторон равна, значит для тетраэдра выполняется равенство сумм противоположных рёбер.
Обратно, если суммы длин противоположных рёбер равны, то на каждой развёртке тетраэдра получаем описанный четырёхугольник. Тогда в каждой грани существует окружность, касающаяся всех её сторон, а эти окружности согласованы по общим рёбрам. Следовательно, существует сфера, касающаяся всех рёбер тетраэдра.
б) Суммы двугранных углов при противоположных рёбрах равны
Пусть сфера касается всех рёбер тетраэдра. Обозначим через $$O$$ её центр. Тогда в каждой грани центр вписанной окружности лежит в плоскости грани, а радиус к точке касания перпендикулярен грани. Если рассмотреть двугранные углы при противоположных рёбрах, то они выражаются через углы между соответствующими перпендикулярами к граням. В результате суммы двугранных углов при противоположных рёбрах оказываются равными.
Обратно, если суммы двугранных углов при противоположных рёбрах равны, то соответствующие перпендикуляры к граням пересекаются в одной точке, которая и является центром каркасной сферы.
в) Окружности, вписанные в грани тетраэдра, попарно касаются друг друга
Пусть $$N, H, H’, M, E, F$$ — точки касания вписанных окружностей с рёбрами тетраэдра. Тогда для соседних граней точки касания на общем ребре совпадают, то есть окружности, вписанные в соседние грани, касаются общего ребра в одной и той же точке.
Если окружности, вписанные в грани тетраэдра, попарно касаются друг друга, то их общая конфигурация задаёт единственную сферу, касающуюся всех рёбер тетраэдра. Значит, тетраэдр каркасный.
г) Все четырёхугольники, получающиеся на развёртке тетраэдра, являются описанными
Рассмотрим развёртку тетраэдра. Для неё выполняются равенства:
$$AP+BC=AC+PB,$$
$$AB+PC=PB+AC,$$
$$AP+BC=AB+PC.$$
Следовательно, все три четырёхугольника, получающиеся при развёртке тетраэдра, являются описанными. А значит, существует окружность, касающаяся всех сторон каждого такого четырёхугольника, то есть существует сфера, касающаяся всех рёбер тетраэдра.
д) Четыре прямые, проходящие через центры вписанных в грани окружностей и перпендикулярные к этим граням, пересекаются в одной точке
Пусть $$O_1, O_2, O_3, O_4$$ — центры окружностей, вписанных в грани тетраэдра, а $$O$$ — центр каркасной сферы. Тогда
$$OO_1 \perp ABC,$$
$$OO_2 \perp PAB,$$
$$OO_3 \perp PBC,$$
$$OO_4 \perp PAC.$$
Все четыре прямые проходят через центр сферы и перпендикулярны соответствующим граням, значит они пересекаются в одной точке.
Обратно, если такие четыре прямые пересекаются в одной точке, то эта точка является центром сферы, касающейся всех рёбер тетраэдра.
Итак, тетраэдр является каркасным тогда и только тогда, когда выполняется любое из условий а)–д).
