Исследовательские задачи Упр.3 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Докажите, что тетраэдр является каркасным тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих условий:
а) суммы длин противоположных рёбер тетраэдра равны;
б) суммы двугранных углов при противоположных рёбрах тетраэдра равны;
в) окружности, вписанные в грани тетраэдра, попарно касаются друг друга (это означает, что каждые две окружности, вписанные в грани тетраэдра с общим ребром, касаются этого ребра в одной и той же точке);
г) все четырёхугольники, получающиеся на развёртке тетраэдра, являются описанными;
д) четыре прямые, каждая из которых проходит через центр вписанной в грань тетраэдра окружности и перпендикулярна к этой грани, пересекаются в одной точке.
Пусть тетраэдр имеет вершины $$A,B,C,D$$. Каркасной называется сфера, касающаяся всех его рёбер.
а) Суммы длин противоположных рёбер равны.
Рассмотрим две проекции тетраэдра на плоскость. Для четырёхугольников, получающихся в проекции, имеем:
$$AB+CD=BC+AD,$$
$$AC+BD=AB+CD,$$
то есть суммы длин противоположных рёбер равны. Обратно, если суммы длин противоположных рёбер равны, то соответствующие четырёхугольники на развёртке являются описанными, а значит, существует сфера, касающаяся всех рёбер тетраэдра.
б) Суммы двугранных углов при противоположных рёбрах равны.
Пусть сфера касается рёбер тетраэдра. Рассмотрим грань с вписанной окружностью. Центр этой окружности лежит на биссектрисах углов грани, а радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен соответствующему ребру. Для двух соседних граней, имеющих общее ребро, получаем равенство углов, образованных перпендикулярами к этим граням. Поэтому сумма двугранных углов при противоположных рёбрах одинакова.
Обратно, если суммы двугранных углов при противоположных рёбрах равны, то четыре прямые, проходящие через центры вписанных в грани окружностей и перпендикулярные этим граням, пересекаются в одной точке. Эта точка и является центром каркасной сферы.
в) Окружности, вписанные в грани тетраэдра, попарно касаются друг друга.
Пусть сфера касается всех рёбер тетраэдра. Тогда каждая грань тетраэдра является сечением этой сферы, а вписанная в грань окружность — сечением сферы плоскостью грани. Для двух соседних граней точки касания с общим ребром совпадают, значит, соответствующие вписанные окружности касаются друг друга в одной и той же точке ребра.
Обратно, если вписанные в грани окружности попарно касаются на общих рёбрах, то их центры лежат на перпендикулярах к граням, проведённых через точки касания. Эти перпендикуляры пересекаются в одной точке, которая и является центром сферы, касающейся всех рёбер.
г) Все четырёхугольники, получающиеся на развёртке тетраэдра, являются описанными.
Рассмотрим развёртку тетраэдра. Для каждого из получающихся четырёхугольников выполняется равенство сумм противоположных сторон, например:
$$AB+CD=BC+AD,$$
$$AB+CD=AC+BD,$$
$$AC+BD=AD+BC.$$
Следовательно, все эти четырёхугольники являются описанными. А значит, существует окружность, касающаяся всех сторон каждого такого четырёхугольника; при сворачивании развёртки она даёт сферу, касающуюся всех рёбер тетраэдра.
д) Прямые, проходящие через центры вписанных в грани окружностей и перпендикулярные этим граням, пересекаются в одной точке.
Пусть $$O_1,O_2,O_3,O_4$$ — центры окружностей, вписанных в грани тетраэдра. Если существует каркасная сфера с центром $$O$$, то радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны соответствующим граням. Значит, прямые $$OO_1, OO_2, OO_3, OO_4$$ перпендикулярны соответствующим граням и пересекаются в точке $$O$$.
Обратно, если такие четыре прямые пересекаются в одной точке $$O$$, то эта точка равноудалена от всех рёбер тетраэдра, а значит, является центром сферы, касающейся всех рёбер.
Итак, тетраэдр является каркасным тогда и только тогда, когда выполнено любое из условий а)–д).