Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.3 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно $$5$$ и $$20$$. Найдите биссектрису, проведённую к боковой стороне треугольника.

Обозначим точку пересечения биссектрисы $$AD$$ со стороной $$BC$$ через $$D$$.

Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный, то $$AB=BC=20$$, а основание $$AC=5$$.

По теореме о биссектрисе:

$$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{20}{5}=4,$$

значит, $$BD=4DC$$. Тогда

$$BC=BD+DC=4DC+DC=5DC,$$

откуда

$$DC=\frac{BC}{5}=\frac{20}{5}=4.$$

Теперь найдём $$AD$$ по теореме косинусов в треугольнике $$ADC$$.

Так как $$\angle ACB=\angle ABC$$, а в равнобедренном треугольнике высота к основанию является и медианой, то в прямоугольном треугольнике с катетами, соответствующими половине основания, получаем

$$\cos \angle ACD=\frac{AC}{BC}=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}.$$

Тогда

$$AD^2=AC^2+CD^2-2\cdot AC\cdot CD\cdot \cos \angle ACD$$

$$AD^2=5^2+4^2-2\cdot 5\cdot 4\cdot \frac14=25+16-10=31.$$

Следовательно,

$$AD=\sqrt{31}.$$

Ответ: $$\sqrt{31}$$.