Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.3 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Дан куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. Найдите угол между плоскостями $$AB_1C_1$$ и $$A_1B_1C$$.

Для куба $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ рассмотрим плоскости $$AB_1C_1$$ и $$A_1B_1C.$$ Их линией пересечения является прямая $$B_1C_1$$.

Найдём угол между этими плоскостями как угол между двумя прямыми, проведёнными в этих плоскостях перпендикулярно к $$B_1C_1$$ в одной точке.

Так как в кубе $$B_1C_1 \perp A_1B_1$$ и $$B_1C_1 \perp BC_1,$$ то искомый двугранный угол равен углу между прямыми $$A_1B_1$$ и $$BC_1.$$

Рассмотрим треугольник $$A_1BC_1.$$ В кубе

$$A_1B=BC_1=AA_1\sqrt{2}=a\sqrt{2},$$
$$A_1C_1=a\sqrt{2}.$$

Следовательно, треугольник $$A_1BC_1$$ равносторонний, значит

$$\angle A_1BC_1=60^\circ.$$

Итак, угол между плоскостями $$AB_1C_1$$ и $$A_1B_1C$$ равен $$60^\circ.$$

Ответ

$$60^\circ$$