Подготовка к ЕГЭ Задание 8 Упр.3 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В правильной треугольной пирамиде $$SABC$$ с вершиной $$S$$ точка $$R$$ — середина ребра $$BC$$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если $$AB=1$$, $$SR=2$$.

В правильной треугольной пирамиде все боковые грани равны, значит

$$S_{SAB}=S_{SBC}=S_{SCA}.$$

Рассмотрим грань $$SBC$$. Так как пирамида правильная, то $$SB=SC$$, следовательно, $$\triangle SBC$$ равнобедренный. Точка $$R$$ — середина ребра $$BC$$, значит $$SR$$ — медиана к основанию $$BC$$. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой, поэтому

$$SR \perp BC.$$

Тогда площадь грани $$SBC$$ равна

$$S_{SBC}=\frac12 \cdot BC \cdot SR.$$

Так как $$AB=1$$, а основание пирамиды $$ABC$$ — равносторонний треугольник, то

$$BC=AB=1.$$

Следовательно,

$$S_{SBC}=\frac12 \cdot 1 \cdot 2=1.$$

Все три боковые грани равны, значит площадь боковой поверхности пирамиды:

$$S_{\text{бок}}=3S_{SBC}=3\cdot 1=3.$$

Ответ: $$3$$.