Подготовка к ЕГЭ Задание 6 Упр.3 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В треугольнике $$ABC$$ угол $$C$$ прямой. Найдите высоту $$CH$$, если $$AB=13$$ и $$\tg(A)=0{,}2$$.

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$, где $$\angle C=90^\circ$$, имеем

$$\tg A=\frac{BC}{AC}=0{,}2=\frac15,$$

значит, $$BC=\frac{AC}{5}.$$

Найдём $$\cos A$$ через $$\tg A$$:

$$\cos A=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 A}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{25}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{26}{25}}}=\frac{5}{\sqrt{26}}.$$

С другой стороны,

$$\cos A=\frac{AC}{AB}.$$

Тогда

$$\frac{AC}{13}=\frac{5}{\sqrt{26}}, \qquad AC=\frac{65}{\sqrt{26}}.$$

Теперь найдём $$BC$$:

$$BC=\frac{AC}{5}=\frac{13}{\sqrt{26}}.$$

Площадь треугольника можно выразить двумя способами:

$$S_{ABC}=\frac12 AC\cdot BC=\frac12 AB\cdot CH.$$

Отсюда

$$CH=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{\frac{65}{\sqrt{26}}\cdot \frac{13}{\sqrt{26}}}{13}=\frac{65}{26}=2{,}5.$$

Ответ: $$2{,}5$$.