Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.3 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 5 и 20. Найдите биссектрису, проведённую к боковой стороне треугольника.

Обозначим основание равнобедренного треугольника $$AC=5$$, а боковые стороны $$AB=BC=20$$. Пусть $$AD$$ — биссектриса угла $$A$$, где точка $$D$$ лежит на стороне $$BC$$.

По теореме о биссектрисе в треугольнике:

$$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{20}{5}=4.$$

Значит, $$BD=4DC$$, а так как $$BD+DC=BC=20$$, то

$$4DC+DC=20,$$

$$5DC=20,$$

$$DC=4.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ADC$$. Найдём угол $$ACD$$. В равнобедренном треугольнике высота $$BE$$, проведённая к основанию, является также медианой, поэтому

$$CE=\frac{AC}{2}=\frac{5}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$BEC$$:

$$\cos C=\frac{CE}{BC}=\frac{5/2}{20}=\frac{1}{8}.$$

Тогда по теореме косинусов в треугольнике $$ADC$$:

$$AD^2=AC^2+CD^2-2\cdot AC\cdot CD\cdot \cos C,$$

$$AD^2=5^2+4^2-2\cdot 5\cdot 4\cdot \frac{1}{8}=25+16-5=36.$$

Следовательно,

$$AD=6.$$

Ответ

$$6$$