Упр.299 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, если сторона основания равна m, а площадь боковой поверхности вдвое больше площади основания.

Пусть $$SABC$$ — правильная треугольная пирамида, $$ABC$$ — основание, $$AB=BC=CA=m$$, $$SO=h$$ — высота пирамиды, $$O$$ — центр равностороннего треугольника $$ABC$$.

Площадь основания равна

$$S_{ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}m^2.$$

По условию площадь боковой поверхности вдвое больше площади основания, значит

$$S_{\text{бок}}=2S_{ABC}=\frac{\sqrt{3}}{2}m^2.$$

У правильной пирамиды

$$S_{\text{бок}}=\frac{1}{2}P\cdot l,$$

где $$P=3m$$ — периметр основания, $$l$$ — апофема пирамиды. Тогда

$$\frac{1}{2}\cdot 3m \cdot l=\frac{\sqrt{3}}{2}m^2,$$

откуда

$$l=\frac{m}{\sqrt{3}}.$$

Рассмотрим треугольник $$AOC$$. В равностороннем треугольнике $$ABC$$ отрезок $$CO$$ — медиана, поэтому

$$CO=\frac{1}{3}CH,$$

где $$CH$$ — высота треугольника $$ABC$$. Тогда

$$CH=m\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}m,$$

следовательно,

$$CO=\frac{\sqrt{3}}{6}m.$$

В прямоугольном треугольнике $$AOC$$ имеем

$$l^2=SO^2+OC^2.$$

Подставим найденные значения:

$$\left(\frac{m}{\sqrt{3}}\right)^2=h^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{6}m\right)^2,$$

$$\frac{m^2}{3}=h^2+\frac{m^2}{12},$$

$$h^2=\frac{m^2}{3}-\frac{m^2}{12}=\frac{m^2}{4}.$$

Так как $$h>0$$, то

$$h=\frac{m}{2}.$$

Ответ

$$\frac{m}{2}$$