Упр.297 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Основанием треугольной призмы ABCA1B1C1 является правильный треугольник ABC, BD — высота этого треугольника, а вершина A1 проектируется в его центр. Докажите, что: а) A1BDLAA1C1; б) AA1O L BB1C; в) грань BB1C1C — прямоугольник.

Подробный ответ

Обозначим через $$O$$ центр правильного треугольника $$ABC$$. Тогда в правильном треугольнике медиана, высота и биссектриса совпадают, значит $$BD \perp AC$$ и, следовательно, $$BD \perp AO$$, так как точка $$O$$ лежит на медиане $$BD$$.

Так как вершина $$A_1$$ проектируется в центр $$O$$, то $$A_1O \perp (ABC)$$. Отсюда $$A_1O \perp AC$$ и $$A_1O \perp BC$$.

Кроме того, в призме $$AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1$$ и $$AA_1C_1C$$, $$BB_1C_1C$$ — параллелограммы.

а) Поскольку $$BD \perp AC$$ и $$A_1O \perp AC$$, то прямая $$AC$$ перпендикулярна плоскости $$A_1BD$$, а значит, плоскость $$AA_1C_1$$, содержащая прямую $$A_1C_1 \parallel AC$$, перпендикулярна плоскости $$A_1BD$$. Следовательно,

$$A_1BD \perp AA_1C_1.$$

б) Так как $$A_1O \perp (ABC)$$, то $$A_1O \perp BC$$. Поскольку $$BC$$ лежит в плоскости $$BB_1C$$, а прямая $$BB_1 \parallel AA_1 \parallel A_1O$$, то плоскость $$AA_1O$$ перпендикулярна плоскости $$BB_1C$$. Значит,

$$AA_1O \perp BB_1C.$$

в) Из пункта б) следует, что $$A_1O \perp BC$$. Но $$AA_1 \parallel BB_1$$, а значит, $$BB_1 \parallel A_1O$$. Следовательно, $$BB_1 \perp BC$$.

Так как в призме $$BB_1 \parallel CC_1$$ и $$BC \parallel B_1C_1$$, то четырёхугольник $$BB_1C_1C$$ — параллелограмм с прямым углом. Значит, это прямоугольник.