Упр.296 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Высота правильной треугольной призмы равна h. Плоскость а, проведенная через среднюю линию нижнего основания и параллельную ей сторону верхнего основания, составляет с плоскостью нижнего основания острый двугранный угол ср. Найдите площадь сечения призмы плоскостью а.

Обозначим сторону основания правильной треугольной призмы через $$x$$. Тогда основание призмы — равносторонний треугольник $$ABC$$, а высота призмы равна $$h$$.

Плоскость $$\alpha$$ проходит через среднюю линию $$ED$$ нижнего основания и параллельную ей сторону $$B_1C_1$$ верхнего основания. Поэтому сечение призмы плоскостью $$\alpha$$ — трапеция $$EB_1C_1D$$, и

$$S_{EB_1C_1D}=\frac{ED+B_1C_1}{2}\cdot h.$$

Так как $$ED$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$, то

$$ED=\frac{1}{2}BC=\frac{x}{2}.$$

Кроме того, $$B_1C_1=BC=x$$. Значит,

$$S_{EB_1C_1D}=\frac{\frac{x}{2}+x}{2}\cdot h=\frac{3x}{4}\,h.$$

Осталось выразить $$x$$ через $$h$$ и $$\varphi$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором угол между плоскостью сечения и плоскостью основания равен $$\varphi$$. Тогда

$$\tg\varphi=\frac{h}{FH}, \qquad FH=\frac{h}{\tg\varphi}.$$

Из подобия соответствующих треугольников в правильном треугольнике $$ABC$$ получаем, что

$$FH=\frac{\sqrt{3}}{4}x.$$

Следовательно,

$$\frac{\sqrt{3}}{4}x=\frac{h}{\tg\varphi},$$

откуда

$$x=\frac{4h}{\sqrt{3}\,\tg\varphi}.$$

Подставим это в формулу площади:

$$S_{EB_1C_1D}=\frac{3}{4}\cdot \frac{4h}{\sqrt{3}\,\tg\varphi}\cdot h =\frac{\sqrt{3}\,\ctg\varphi}{\sin\varphi}\,h^2.$$

Ответ

$$S_{EB_1C_1D}=\frac{\sqrt{3}\,\ctg\varphi}{\sin\varphi}\,h^2.$$