Упр.296 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Высота правильной треугольной призмы равна $$h$$. Плоскость $$\alpha$$, проведённая через среднюю линию нижнего основания и параллельную ей сторону верхнего основания, составляет с плоскостью нижнего основания острый двугранный угол $$\varphi$$. Найдите площадь сечения призмы плоскостью $$\alpha$$.

Подробный ответ

Обозначим сторону основания правильной треугольной призмы через $$x$$. Тогда в основании $$ABC$$ треугольник равносторонний, а $$CC_1=h$$ — высота призмы.

Пусть $$E$$ и $$D$$ — середины сторон $$AB$$ и $$AC$$ соответственно. Тогда $$ED$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$, значит

$$ED\parallel BC,\qquad ED=\frac{1}{2}BC=\frac{x}{2}.$$

Плоскость $$\alpha$$ проходит через $$ED$$ и параллельна стороне $$B_1C_1$$ верхнего основания. Следовательно, сечение призмы — трапеция $$EB_1C_1D$$, у которой

$$B_1C_1=BC=x,\qquad ED=\frac{x}{2}.$$

Тогда площадь сечения равна

$$S_{EB_1C_1D}=\frac{ED+B_1C_1}{2}\cdot h=\frac{\frac{x}{2}+x}{2}\cdot h=\frac{3x}{4}\,h.$$

Найдём $$x$$ через угол $$\varphi$$ между плоскостью $$\alpha$$ и плоскостью основания. Рассмотрим перпендикулярное к $$ED$$ сечение плоскостью, проходящей через высоту призмы. В этом сечении получаем прямоугольный треугольник, для которого

$$\tan\varphi=\frac{h}{FH},\qquad FH=\frac{h}{\tan\varphi}.$$

С другой стороны, из подобия соответствующих треугольников в равностороннем $$\triangle ABC$$ получаем, что высота этого треугольника равна

$$h_{ABC}=\frac{\sqrt{3}}{2}x,$$

а отрезок $$FH$$ выражается как

$$FH=\frac{1}{2}h_{ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}x.$$

Приравнивая два выражения для $$FH$$, получаем

$$\frac{h}{\tan\varphi}=\frac{\sqrt{3}}{4}x,$$

откуда

$$x=\frac{4h}{\sqrt{3}\tan\varphi}.$$

Подставим это в формулу площади:

$$S_{EB_1C_1D}=\frac{3}{4}\cdot \frac{4h}{\sqrt{3}\tan\varphi}\cdot h =\frac{\sqrt{3}}{\tan\varphi}\,h^2 =\sqrt{3}\,\ctg\varphi\cdot h^2.$$