Упр.295 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Основанием наклонного параллелепипеда $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ является ромб. Боковое ребро $$CC_1$$ составляет равные углы со сторонами основания $$CD$$ и $$CB$$. Докажите, что:
а) $$CC_1\perp BD$$;
б) $$BB_1D_1D$$ — прямоугольник;
в) $$BD\perp AA_1C_1$$;
г) $$AA_1C_1\perp BB_1D_1$$.

Подробный ответ

Проведём диагонали ромба $$AC$$ и $$BD$$. Тогда $$BD \perp AC$$, а точка их пересечения $$O$$ является серединой обеих диагоналей: $$AO=OC$$, $$BO=OD$$.

По условию $$\angle C_1CD=\angle C_1CB$$, значит треугольники $$\triangle C_1CD$$ и $$\triangle C_1CB$$ равны по первому признаку: $$C_1C$$ — общая сторона, $$CD=CB$$, а угол между ними равен. Отсюда $$C_1D=C_1B$$.

Следовательно, точка $$C_1$$ равноудалена от точек $$B$$ и $$D$$, а значит лежит в плоскости серединного перпендикуляра к отрезку $$BD$$. Так как $$O$$ — середина $$BD$$, то прямая $$C_1O$$ является этим серединным перпендикуляром, поэтому

$$C_1O \perp BD.$$

Но точки $$C_1$$ и $$O$$ лежат в плоскости $$ACC_1A_1$$, а прямая $$AC$$ лежит в основании. Поскольку $$BD \perp AC$$ и $$C_1O \perp BD$$, получаем, что плоскость $$ACC_1A_1$$ перпендикулярна прямой $$BD$$. Значит, любая прямая этой плоскости, проходящая через точку $$O$$ и перпендикулярная $$AC$$, тоже перпендикулярна $$BD$$. В частности,

$$AA_1 \perp BD.$$

Так как в параллелепипеде $$AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1 \parallel DD_1$$, то из $$AA_1 \perp BD$$ следует

$$BB_1 \perp BD.$$

Кроме того, $$BB_1 \parallel DD_1$$ и $$BD \perp BB_1$$, значит четырёхугольник $$BB_1D_1D$$ — прямоугольник.

Далее, из $$BD \perp AA_1$$ и $$BD \perp AC$$ следует, что прямая $$BD$$ перпендикулярна плоскости $$AA_1C_1$$, так как эта плоскость содержит пересекающиеся прямые $$AA_1$$ и $$AC$$. Следовательно,

$$BD \perp AA_1C_1.$$

Так как $$BD \subset BBD_1D$$, то получаем

$$BD \perp (AA_1C_1).$$

Отсюда плоскость $$BDLAA_1C_1$$.

Наконец, поскольку $$BB_1 \parallel AA_1$$ и $$BB_1 \perp BD$$, а также $$BB_1 \parallel D_1D$$, то в плоскости $$BB_1D_1D$$ прямая $$BD$$ перпендикулярна одной из сторон, а значит эта плоскость перпендикулярна плоскости $$AA_1C_1$$. Следовательно,

$$AA_1C_1 \perp BB_1D_1D.$$