Упр.293 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 диагонали B1D и D1B взаимно перпендикулярны. Докажите, что угол между диагоналями A1C и B1D призмы равен 60°.
Обозначим сторону основания призмы через $$a$$, а высоту — через $$h$$. Рассмотрим основание $$ABCD$$ как квадрат, а боковые рёбра призмы — перпендикулярными основанию.
Пусть $$O$$ — точка пересечения диагоналей квадрата $$ABCD$$. Тогда $$O$$ — центр основания, и
$$OA=OB=OC=OD=\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a}{\sqrt{2}}.$$
Так как призма правильная, то $$AA_1\perp (ABCD)$$ и $$AA_1=BB_1=CC_1=DD_1=h$$.
По условию диагонали $$B_1D$$ и $$D_1B$$ взаимно перпендикулярны. Рассмотрим треугольник $$B_1OD$$. Точка $$O$$ лежит на диагонали $$BD$$, а в квадрате диагонали пересекаются и делятся пополам, значит $$O$$ — середина $$BD$$. Тогда
$$OB=OD=\frac{a}{\sqrt{2}}.$$
Из перпендикулярности диагоналей следует, что в соответствующем сечении получается равнобедренный прямоугольный треугольник, поэтому
$$B_1D=\frac{B_1B}{\sqrt{2}}=\frac{h}{\sqrt{2}}.$$
С другой стороны, в прямоугольном треугольнике $$B_1OD$$ по теореме Пифагора:
$$B_1D^2=OB^2+OD^2=\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2=a^2,$$
значит
$$B_1D=a.$$
Тогда из равенства $$B_1D=\dfrac{h}{\sqrt{2}}$$ получаем
$$h=a\sqrt{2}.$$
Теперь найдём диагональ $$A_1C$$. В прямоугольном треугольнике $$AA_1C$$:
$$A_1C^2=AA_1^2+AC^2=h^2+(a\sqrt{2})^2.$$
Подставим $$h=a\sqrt{2}$$:
$$A_1C^2=2a^2+2a^2=4a^2,$$
следовательно,
$$A_1C=2a.$$
Рассмотрим треугольник $$A_1OB_1$$. Так как $$OA_1=OB_1$$ и обе эти величины равны половине диагонали соответствующих прямоугольных граней, то
$$OA_1=OB_1=\frac{A_1C}{2}=a.$$
Кроме того, $$A_1B_1=a$$, поскольку $$A_1B_1$$ — сторона квадрата верхнего основания.
Значит, треугольник $$A_1OB_1$$ равносторонний, и потому
$$\angle A_1OB_1=60^\circ.$$
Искомый угол между диагоналями $$A_1C$$ и $$B_1D$$ равен $$60^\circ$$.
Ответ
$$60^\circ$$