Упр.292 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В правильной четырёхугольной призме сторона основания равна $$6\ \text{см}$$, боковое ребро равно $$8\ \text{см}$$. Найдите расстояние от стороны основания до не пересекающей её диагонали призмы.

Подробный ответ

Рассмотрим диагональ $$AC_1$$ и сторону основания $$BC$$. Эти прямые скрещиваются, поэтому искомое расстояние равно расстоянию от точки $$A$$ до прямой $$BC_1$$ в плоскости, параллельной прямой $$BC$$ и проходящей через $$A$$ и $$C_1$$.

Проведём в основании перпендикуляр $$BH$$ к диагонали $$AC$$. Тогда $$BH$$ и есть расстояние от прямой $$BC$$ до плоскости $$ADC_1B_1$$, а значит, и искомое расстояние.

Найдём диагональ основания:

$$AC=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$:

$$S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot BC=\frac12\cdot AC\cdot BH.$$

Так как $$AB=BC=6$$, получаем

$$\frac12\cdot 6\cdot 6=\frac12\cdot 6\sqrt2\cdot BH,$$

откуда

$$BH=\frac{36}{6\sqrt2}=3\sqrt2.$$

Следовательно, расстояние от стороны основания до не пересекающей её диагонали призмы равно $$3\sqrt2$$ см.