Упр.291 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В прямоугольном параллелепипеде диагональ, равная $$d$$, образует с плоскостью основания угол $$\varphi$$, а с одной из сторон основания — угол $$\theta$$. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Обозначим рёбра прямоугольного параллелепипеда через $$x,\ y,\ z$$, где $$x=AB,$$ $$y=BC,$$ $$z=AA_1.$$ Тогда площадь боковой поверхности равна

$$S_{\text{бок}}=2(x+y)z.$$

Из условия $$AC_1=d,$$ $$\angle CAC_1=\varphi,$$ $$\angle C_1AB=\theta.$$

Так как проекция диагонали $$AC_1$$ на плоскость основания — это диагональ $$AC,$$ то

$$AC=d\cos\varphi.$$

В прямоугольном треугольнике $$AAC_1$$ имеем

$$z=AA_1=d\sin\varphi.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ угол между $$AB$$ и диагональю $$AC$$ равен $$\theta,$$ значит

$$x=AB=AC\cos\theta=d\cos\varphi\cos\theta.$$

По теореме Пифагора в треугольнике $$ABC$$:

$$AB^2+BC^2=AC^2,$$

откуда

$$y=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{d^2\cos^2\varphi-d^2\cos^2\varphi\cos^2\theta}=d\cos\varphi\sin\theta.$$

Тогда

$$S_{\text{бок}}=2(x+y)z =2\bigl(d\cos\varphi\cos\theta+d\cos\varphi\sin\theta\bigr)\,d\sin\varphi.$$

Следовательно,

$$S_{\text{бок}}=2d^2\sin\varphi\cos\varphi(\cos\theta+\sin\theta).$$

Ответ: $$S_{\text{бок}}=2d^2\sin\varphi\cos\varphi(\cos\theta+\sin\theta).$$