Упр.290 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Угол между диагональю основания прямоугольного параллелепипеда, равной $$1$$, и одной из сторон основания равен $$\varphi$$. Угол между этой стороной и диагональю параллелепипеда равен $$\theta$$. Найдите площадь боковой поверхности данного параллелепипеда.
Обозначим рёбра прямоугольного параллелепипеда через $$x,\ y,\ z.$$ Тогда площадь боковой поверхности равна
$$S_{\text{бок}}=2(x+y)z.$$
По условию диагональ основания равна $$l$$, а угол между этой диагональю и одной из сторон основания равен $$\varphi$$. Тогда для прямоугольного основания
$$x=l\cos\varphi,\qquad y=l\sin\varphi.$$
Рассмотрим диагональ параллелепипеда. Угол между этой диагональю и стороной основания равен $$\theta$$. В прямоугольном треугольнике, образованном диагональю параллелепипеда, её проекцией на основание и высотой $$z$$, имеем
$$\cos\theta=\frac{\text{проекция диагонали на основание}}{\text{диагональ параллелепипеда}}.$$
Проекция диагонали параллелепипеда на основание — это диагональ основания, то есть $$l$$. Поэтому
$$\text{диагональ параллелепипеда}=\frac{l}{\cos\theta}.$$
С другой стороны, по теореме Пифагора для диагонали параллелепипеда:
$$l^2+z^2=\left(\frac{l}{\cos\theta}\right)^2,$$
откуда
$$z=l\sqrt{\frac{1}{\cos^2\theta}-1}=l\tan\theta.$$
Тогда
$$S_{\text{бок}}=2(x+y)z=2\bigl(l\cos\varphi+l\sin\varphi\bigr)\cdot l\tan\theta.$$
Следовательно,
$$S_{\text{бок}}=2l^2(\cos\varphi+\sin\varphi)\tan\theta.$$
Ответ: $$S_{\text{бок}}=2l^2(\cos\varphi+\sin\varphi)\tan\theta.$$
