Упр.29 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что плоскость $$ADK$$ пересекает отрезок $$MC$$ в некоторой точке $$H$$, и найдите отрезок $$КН$$.

Так как $$ABCD$$ — трапеция, то $$AD \parallel BC$$.

Плоскость $$BMC$$ содержит прямую $$BC$$, а плоскость $$ADK$$ содержит прямую $$AD$$. Поскольку $$AD \parallel BC$$, то прямая $$AD$$ параллельна плоскости $$BMC$$.

Плоскость $$ADK$$ проходит через прямую $$AD$$ и пересекает плоскость $$BMC$$, значит линия их пересечения проходит через точку $$K$$ и параллельна прямой $$AD$$. Следовательно, $$KH \parallel AD$$, а значит и $$KH \parallel BC$$.

В треугольнике $$BMC$$ точка $$K$$ — середина стороны $$BM$$, так как $$BK=KM$$. Прямая через середину одной стороны треугольника, параллельная второй стороне, пересекает третью сторону в её середине. Поэтому точка $$H$$ — середина отрезка $$MC$$.

Тогда $$KH$$ — средняя линия треугольника $$BMC$$, значит

$$KH=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\cdot 12=6\text{ см}.$$

Ответ: $$6\text{ см}$$.