Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.29 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Окружность $$S_1$$ проходит через центр окружности $$S_2$$ и пересекает её в точках $$A$$ и $$B$$. Хорда $$AC$$ окружности $$S_1$$ касается окружности $$S_2$$ в точке $$A$$ и делит первую окружность на дуги, градусные меры которых относятся как $$5:7$$. Найдите градусные меры дуг, на которые окружность $$S_2$$ делится окружностью $$S_1$$.

Обозначим меньшую дугу $$ABC$$ окружности $$S_1$$ через $$x$$, тогда большая дуга $$AC$$ равна $$360^\circ-x$$. По условию

$$\frac{360^\circ-x}{x}=\frac{5}{7}.$$

Отсюда

$$7(360^\circ-x)=5x,$$

$$2520^\circ=12x,$$

$$x=210^\circ.$$

Значит, дуга $$ABC$$ окружности $$S_1$$ равна $$210^\circ$$, а дуга $$AC$$ равна

$$360^\circ-210^\circ=150^\circ.$$

Так как хорда $$AC$$ касается окружности $$S_2$$ в точке $$A$$, то радиус $$O_2A$$ перпендикулярен $$AC$$. Следовательно, угол между хордой $$AB$$ и касательной $$AC$$ равен вписанному углу, опирающемуся на дугу $$AB$$, поэтому дуга $$AB$$ окружности $$S_2$$ равна

$$2\angle CAB.$$

В окружности $$S_1$$ вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $$AB$$, равны, значит

$$\angle CAB=\angle ABC.$$

А так как дуги $$AC$$ и $$ABC$$ относятся как $$5:7$$, то соответствующие вписанные углы равны $$75^\circ$$ и $$75^\circ$$, следовательно

$$\angle CAB=75^\circ.$$

Тогда

$$\angle A=90^\circ-75^\circ=15^\circ,$$

и центральный угол $$\angle AO_2B$$ равен

$$\angle AO_2B=180^\circ-2\cdot 15^\circ=150^\circ.$$

Тогда большая дуга $$AB$$ окружности $$S_2$$ равна

$$360^\circ-150^\circ=210^\circ.$$

Ответ: $$150^\circ$$ и $$210^\circ$$.