Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.29 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Окружность S_1 проходит через центр окружности S_2 и пересекает её в точках А и В. Хорда АС окружности S_1 касается окружности S_2 в точке А и делит первую окружность на дуги, градусные меры которых относятся как 5:7. Найдите градусные меры дуг, на которые окружность S_2 делится окружностью S_1.

Обозначим градусную меру меньшей дуги $$ABC$$ окружности $$S_1$$ через $$x$$, тогда большая дуга равна $$360^\circ-x$$. По условию

$$x:(360^\circ-x)=5:7.$$

Отсюда

$$ 7x=5(360^\circ-x) \\ 7x=1800^\circ-5x \\ 12x=1800^\circ \\ x=150^\circ. $$

Значит, дуга $$ABC$$ равна $$150^\circ$$, а дуга $$AB$$, не содержащая точку $$C$$, равна

$$360^\circ-150^\circ=210^\circ.$$

Так как окружность $$S_1$$ проходит через центр окружности $$S_2$$, то точки $$A$$ и $$B$$ лежат на окружности $$S_2$$, а хорда $$AC$$ окружности $$S_1$$ касается окружности $$S_2$$ в точке $$A$$. Следовательно, радиус $$O_2A$$ перпендикулярен касательной $$AC$$, то есть $$O_2A \perp AC$$.

Угол, опирающийся на дугу $$ABC$$ в окружности $$S_1$$, равен

$$\angle ABC=\frac{1}{2}\cdot 150^\circ=75^\circ.$$

В треугольнике $$ABC$$ имеем $$CA=CB$$, значит, он равнобедренный, и потому

$$\angle CAB=\angle ABC=75^\circ.$$

Тогда

$$\angle O_2AB=90^\circ-75^\circ=15^\circ.$$

В равнобедренном треугольнике $$A O_2 B$$, где $$O_2A=O_2B$$, получаем

$$\angle AO_2B=180^\circ-2\cdot 15^\circ=150^\circ.$$

Следовательно, дуга $$AB$$ окружности $$S_2$$, на которую опирается центральный угол $$\angle AO_2B$$, равна $$150^\circ$$, а другая дуга равна

$$360^\circ-150^\circ=210^\circ.$$

Ответ

$$150^\circ$$ и $$210^\circ$$.