Упр.289 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что площадь полной поверхности куба равна $$2d^2$$, где $$d$$ — диагональ куба.

Пусть ребро куба равно $$a$$. Тогда площадь полной поверхности куба равна

$$S_{\text{полн}}=6a^2.$$

Найдём связь между ребром куба и его пространственной диагональю $$d$$. Диагональ грани куба равна

$$AC=a\sqrt{2}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $$AC$$ и $$AA_1$$. По теореме Пифагора:

$$d^2=AC^2+AA_1^2=(a\sqrt{2})^2+a^2=2a^2+a^2=3a^2.$$

Отсюда

$$a^2=\frac{d^2}{3}.$$

Тогда

$$S_{\text{полн}}=6a^2=6\cdot \frac{d^2}{3}=2d^2.$$

Что и требовалось доказать.