Упр.287 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Ребро правильного октаэдра равно $$a$$. Найдите расстояние между: а) двумя его противоположными вершинами; б) центрами двух смежных граней; в) противоположными гранями.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — квадрат, а $$F$$ и $$E$$ — вершины правильного октаэдра, лежащие по разные стороны от плоскости $$ABCD$$.

Ход решения

а) Противоположные вершины октаэдра соединены диагональю квадрата $$ABCD$$. Поэтому

$$BD=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}.$$

б) Центры двух смежных граней обозначим через $$I$$ и $$J$$. Рассмотрим треугольник $$GFH$$, где $$G$$ и $$H$$ — середины рёбер $$AB$$ и $$BD$$ соответственно. Тогда $$I$$ и $$J$$ — точки пересечения медиан равносторонних треугольников, являющихся гранями октаэдра.

В треугольнике $$GFH$$ отрезок $$IJ$$ соединяет точки, делящие стороны в отношении $$2:1$$, поэтому

$$\frac{GH}{IJ}=\frac{3}{2}, \qquad IJ=\frac{2}{3}GH.$$

Так как $$GH$$ — средняя линия треугольника $$ABD$$, то

$$GH=\frac{BD}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a}{\sqrt{2}}.$$

Следовательно,

$$IJ=\frac{2}{3}\cdot \frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{3}.$$

в) Противоположные грани параллельны, значит расстояние между ними равно расстоянию между их центрами. Обозначим центры этих граней через $$K$$ и $$L$$. Тогда центр квадрата $$ABCD$$ делит отрезок $$KL$$ пополам.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$OKF$$, где $$O$$ — центр квадрата $$ABCD$$. Имеем

$$OF=\frac{a}{\sqrt{2}}, \qquad FK=\frac{a}{\sqrt{3}}.$$

По теореме Пифагора:

$$OK=\sqrt{OF^2-FK^2}=\sqrt{\frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{3}}=\frac{a}{\sqrt{6}}.$$

Так как $$O$$ — середина $$KL$$, то

$$KL=2OK=\frac{2a}{\sqrt{6}}.$$