Упр.286 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В правильном тетраэдре $$h$$ — высота, $$m$$ — ребро, а $$n$$ — расстояние между центрами его граней. Выразите: а) $$m$$ через $$h$$; б) $$n$$ через $$m$$.

Пусть $$ABCD$$ — правильный тетраэдр, $$DO=h$$ — его высота, $$CD=m$$ — ребро, $$OE=n$$ — расстояние между центрами граней.

Обозначим через $$H$$ середину ребра $$AB$$. Тогда в равностороннем треугольнике $$ABC$$ отрезок $$CH$$ — медиана и высота, поэтому

$$CH=\frac{\sqrt{3}}{2}m.$$

Так как $$O$$ — центр грани $$ABC$$, то $$O$$ лежит на медиане $$CH$$ и

$$CO=\frac{2}{3}CH=\frac{2}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}m=\frac{\sqrt{3}}{3}m.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$COD$$. По теореме Пифагора:

$$CD^2=CO^2+DO^2$$

$$m^2=\left(\frac{\sqrt{3}}{3}m\right)^2+h^2$$

$$m^2=\frac{m^2}{3}+h^2$$

$$h^2=\frac{2m^2}{3}$$

$$m=\sqrt{\frac{3}{2}}\,h.$$

Теперь найдём $$n$$. Центры граней $$O$$ и $$E$$ лежат на медианах соответствующих равносторонних треугольников, поэтому в плоскости $$CDH$$ треугольники $$CDH$$ и $$OEH$$ подобны. Отсюда

$$\frac{CD}{OE}=\frac{DH}{EH}=3,$$

значит

$$\frac{m}{n}=3,\qquad n=\frac{m}{3}.$$

Итак,

$$m=\sqrt{\frac{3}{2}}\,h,\qquad n=\frac{m}{3}.$$

Ответ: $$m=\sqrt{\frac{3}{2}}\,h,\quad n=\frac{m}{3}.$$