Упр.285 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что в правильном тетраэдре отрезки, соединяющие центры граней, равны друг другу.

Соединим центры всех граней правильного тетраэдра. Получим новый тетраэдр.

Докажем, что его рёбра равны. Для этого достаточно рассмотреть одну из плоскостей симметрии правильного тетраэдра. В правильном тетраэдре каждая такая плоскость проходит через ребро и середины противоположных рёбер, поэтому две грани, симметричные относительно этой плоскости, равны, а соответствующие отрезки, соединяющие их центры, также равны.

Аналогично, рассматривая остальные плоскости симметрии, получаем, что все отрезки, соединяющие центры граней правильного тетраэдра, попарно равны.

Следовательно, новый тетраэдр является правильным, а значит, все отрезки, соединяющие центры граней правильного тетраэдра, равны друг другу.