Упр.283 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В правильном тетраэдре DABC ребро равно $$a$$. Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через центр грани ABC: а) параллельно грани BDC; б) перпендикулярно к ребру AD.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — центр грани $$ABC$$. Тогда в равностороннем треугольнике $$ABC$$ точка $$O$$ является точкой пересечения медиан, поэтому

$$AO=\frac{2}{3}h_{ABC}=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}.$$

а) Плоскость проходит через $$O$$ и параллельна грани $$BDC$$

Сечение — треугольник, подобный треугольнику $$BDC$$. Так как плоскость проходит через центр грани $$ABC$$ и параллельна $$BDC$$, то на ребрах $$AB$$ и $$AC$$ она отсекает точки $$K$$ и $$L$$ так, что

$$\frac{AK}{AB}=\frac{AL}{AC}=\frac{AO}{AD}=\frac{2}{3}.$$

Следовательно, коэффициент подобия сечения и треугольника $$BDC$$ равен $$\frac{2}{3}$$, а значит, площади относятся как квадраты коэффициентов:

$$S_{KLM}=\left(\frac{2}{3}\right)^2 S_{BDC}=\frac{4}{9}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{\sqrt{3}}{9}a^2.$$

б) Плоскость проходит через $$O$$ и перпендикулярна ребру $$AD$$

Пусть эта плоскость пересекает ребро $$AD$$ в точке $$H$$, а ребро $$BC$$ — в точке $$G$$. Тогда $$FG \parallel BC$$, и сечение $$FGH$$ является треугольником.

Площадь этого треугольника можно найти по формуле

$$S_{FGH}=\frac{1}{2}\,FG\cdot OH.$$

Из подобия соответствующих треугольников получаем

$$FG=MN=\frac{2}{3}a.$$

Кроме того, в правильном тетраэдре угол между ребром $$AD$$ и плоскостью $$ABC$$ таков, что

$$\sin \angle OAH=\sqrt{\frac{2}{3}}.$$

Тогда

$$OH=AO\sin \angle OAH=\frac{a\sqrt{3}}{3}\cdot \sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{a\sqrt{2}}{3}.$$

Следовательно,

$$S_{FGH}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2a}{3}\cdot \frac{a\sqrt{2}}{3}=\frac{\sqrt{2}}{9}a^2.$$