Упр.282 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Найдите угол между двумя рёбрами правильного октаэдра, которые имеют общую вершину, но не принадлежат одной грани (см. рис. 89).

Подробный ответ

Рассмотрим треугольник $$AFC$$.

В правильном октаэдре все рёбра равны, значит $$AF=AB$$ и $$CF=AB$$. Кроме того, точки $$A,B,C,D$$ лежат в одной грани, которая является квадратом, поэтому $$AC$$ — диагональ квадрата, и

$$AC^2=AB^2+BC^2=AB^2+AB^2=2AB^2.$$

С другой стороны,

$$AF^2+CF^2=AB^2+AB^2=2AB^2.$$

Следовательно,

$$AC^2=AF^2+CF^2.$$

По обратной теореме Пифагора треугольник $$AFC$$ прямоугольный, значит

$$\angle AFC=90^\circ.$$

Ответ: $$90^\circ$$