Упр.281 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В кубе $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ из вершины $$D_1$$ проведены диагонали граней $$D_1A$$, $$D_1C$$ и $$D_1B_1$$, и концы их соединены отрезками. Докажите, что многогранник $$D_1AB_1C$$ — правильный тетраэдр. Найдите отношение площадей поверхностей куба и тетраэдра.

Рассмотрим многогранник $$AB_1CD_1$$.

Его рёбра — диагонали граней куба, значит

$$AB_1=B_1C=CD_1=D_1A.$$

Кроме того, каждая из этих диагоналей является диагональю квадрата со стороной $$a$$, поэтому все они равны между собой. Следовательно, многогранник $$AB_1CD_1$$ — правильный тетраэдр.

Найдём отношение площадей поверхностей куба и тетраэдра.

Площадь поверхности куба:

$$S_{\text{куба}}=6a^2.$$

Площадь одной грани правильного тетраэдра равна площади равностороннего треугольника со стороной $$a\sqrt{2}$$:

$$S_{\triangle}=\frac{\sqrt{3}}{4}(a\sqrt{2})^2=\frac{\sqrt{3}}{2}a^2.$$

Тогда площадь поверхности тетраэдра:

$$S_{AB_1CD_1}=4S_{\triangle}=4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a^2=2\sqrt{3}\,a^2.$$

Искомое отношение:

$$\frac{S_{\text{куба}}}{S_{AB_1CD_1}}=\frac{6a^2}{2\sqrt{3}\,a^2}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}.$$

Ответ: $$\sqrt{3}$$.