Упр.280 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Ребро куба равно $$a$$. Найдите площадь сечения, проходящего через диагонали двух его граней.

Рассмотрим два сечения куба.

1) Сечение $$ACD_1$$.

Треугольник $$ACD_1$$ образован диагоналями граней куба, поэтому его стороны равны:

$$AC=CD_1=AD_1=a\sqrt{2}.$$

Значит, $$\triangle ACD_1$$ — равносторонний. Тогда его площадь:

$$S_{ACD_1}=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot AC^2 =\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot (a\sqrt{2})^2 =\frac{\sqrt{3}}{2}a^2.$$

2) Сечение $$ACC_1A_1$$.

Четырёхугольник $$ACC_1A_1$$ — прямоугольник, так как $$AA_1 \perp AC$$. Его стороны:

$$AA_1=a,\qquad AC=a\sqrt{2}.$$

Следовательно,

$$S_{ACC_1A_1}=AA_1\cdot AC=a\cdot a\sqrt{2}=a^2\sqrt{2}.$$

Ответ: $$S_{ACD_1}=\frac{\sqrt{3}}{2}a^2,\quad S_{ACC_1A_1}=a^2\sqrt{2}.$$