Упр.28 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Ha сторонах AB и AC треугольника ABC взяты соответственно точки D и E так, что длина отрезка DE равна 5 см и Плоскость а проходит через точки B и C и параллельна отрезку DE. Найдите длину отрезка ВС.

Подробный ответ

Так как точки $$B$$ и $$C$$ лежат в плоскости $$\alpha$$, то прямая $$BC$$ принадлежит плоскости $$\alpha$$. Плоскость, проходящая через прямую $$BC$$ и параллельная отрезку $$DE$$, пересекает плоскость треугольника $$ABC$$ по прямой, параллельной $$DE$$. Значит, $$DE \parallel BC$$.

Следовательно, в треугольнике $$ABC$$ прямая $$DE$$ параллельна стороне $$BC$$, поэтому треугольники $$ADE$$ и $$ABC$$ подобны.

Из подобия получаем:

$$ \frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}. $$

По условию $$\dfrac{BD}{DA}=\dfrac{2}{3}$$, значит

$$ AB=BD+DA=2x+3x=5x,\qquad AD=3x, $$

и тогда

$$ \frac{AD}{AB}=\frac{3x}{5x}=\frac{3}{5}. $$

Следовательно,

$$ \frac{DE}{BC}=\frac{3}{5}. $$

Подставим $$DE=5$$ см:

$$ \frac{5}{BC}=\frac{3}{5}, $$
$$ BC=\frac{25}{3}\text{ см}. $$